Ableitung von Ln(x) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
gleich mal der Satz: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Jetzt zu meinem Problem  . Also wir haben gerade die Ln Funktion abgeleitet, wie das von statten geht habe ich auch verstanden, der Ansatz hierzu gibt mir allerdings Rätsel auf! Wir haben zunächst die allgemeine Ableitung einer Umkehrfunktion gemacht. Hier erstmal meine Überlegung:
wenn y = f(x), dann ist doch die Umkehrfunktion x = f(y). So, wenn ich dass nun nach y auflöse bekomme ich y = [mm] f^{-} [/mm] (x). Ich verwende mal das hoch - als zeichen dafür dass ich die Umkehrfunktion meine.
Jetzt lautet unser Ansatz aber: x = [mm] f^{-} [/mm] (y). Aber wie kann dass denn mit meiner obigen Feststellung übereinstimmen? Es kann doch nicht gleichzeitig auch y = [mm] f^{-} [/mm] (x) sein. Habe ich damit jetzt nicht quasi eine doppelte Umkehrung gemacht, und bin wieder bei der Ausgangsfunktion?
Schonmal danke
Gruß Flipper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Flipper!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Habe ich damit jetzt nicht quasi eine doppelte Umkehrung gemacht, und bin wieder bei der Ausgangsfunktion?
Ja, ganz genau, da lag dein Fehler.
Du musst die Umkehrfunktion zu
$y=ln(x)$
bilden, und die lautet ja:
[mm] $x=e^y$
[/mm]
Hier darfst du jetzt nicht nochmal nach $y$ umstellen, denn dann wärst du, wie du richtig erkannt hast, wieder bei deiner Ausgangsfunktion. Stattdessen leitest du die Funktion nach $x$ ab und erhältst unter Verwendung der Kettenregel (y ist eine Funktion von x):
[mm] $1=y'\cdot e^{y}$
[/mm]
Wegen $y=ln(x)$ kannst du nun wieder substituieren und kommst zu dem Ergebnis:
[mm] $1=y'\cdot e^{ln(x)}=y'\cdot [/mm] x$
[mm] $\gdw y'=\frac{1}{x}$
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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