Ableitung von Funktionen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Shizo |
| Aufgabe 1 | Man berechne die Ableitung der folgenden Funktionen
(a) [mm] f(x)=\bruch{cos(x)-1}{sin^{2}(x)} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | (b) [mm] g(x)=\bruch{arctan(x)}{x^{2}-2x} [/mm] |
Würde mich über einen Segen eurer Seits freuen.
Meine Lösungsansätze....
Zu f(x):
Ich unterteile erst einmal den Quotienten in u & v
u(x)=cos(x)-1 ; [mm] v(x)=sin^{2}(x)
[/mm]
u'(x)=-sin(x)
v'(x)=(sin(x)*sin(x))' hier Produktregel
v'(x)=cos(x)*sin(x)+sin(x)*cos(x) laut Addiotionstheorem
v'(x)=sin(x+x) [mm] \gdw [/mm] v'(x)=sin(2x)
Jetzt die Quotientenregel.....
[mm] f'(x)=\bruch{-sin(x)*sin^{2}(x)-(cos(x)-1)*sin(2x)}{(sin^{2})^{2}} [/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{-sin^{3}(x)-sin(2x)*cos(x)+sin(2x)}{(sin^{2})^{2}}
[/mm]
Soweit erstmal für f(x).
Zu g(x):
Wieder die Unterteilung in zwei Funktionen.
u(x)=arctan(x) ; [mm] v(x)=x^{2}+2x
[/mm]
[mm] u'(x)=\bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] ; v'(x)=2x+2
[mm] g'(x)=\bruch{\bruch{1}{1+x^{2}}*(x^{2}+2x)-arctan(x)*(2x+2)}{(x^{2}+2x)^{2}}
[/mm]
Und das ist es, was dabei rauskommt.
[mm] g'(x)=\bruch{\bruch{x^{2}}{1+x^{2}}+\bruch{2x}{1+x^{2}}-2x*arctan(x)+2arctan}{(x^{2}+2x)^{2}}
[/mm]
Danke vorab für Eure Mühe!
Gruß
Anton
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Fr 20.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anton!
Wenn man mag, kann man die Funktionsvorschrift vor dem Ableiten noch etwas umformen und "leicht" vereinfachen:
[mm]f(x) \ = \ \bruch{\cos(x)-1}{\sin^2(x)} \ = \ \bruch{\cos(x)-1}{1-\cos^2(x)} \ = \ -\bruch{1-\cos(x)}{\left[ \ 1-\cos(x) \ \right]*\left[ \ 1+\cos(x) \ \right]} \ = \ -\bruch{1}{1+\cos(x)} \ = \ -\left[ \ 1+\cos(x) \ \right]^{-1}[/mm]
Nun geht's ziemlich zügig mit der  Kettenregel.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Shizo |
> Hallo Anton!
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> Wenn man mag, kann man die Funktionsvorschrift vor dem
> Ableiten noch etwas umformen und "leicht" vereinfachen:
>
> [mm]f(x) \ = \ \bruch{\cos(x)-1}{\sin^2(x)} \ = \ \bruch{\cos(x)-1}{1-\cos^2(x)} \ = \ -\bruch{1-\cos(x)}{\left[ \ 1-\cos(x) \ \right]*\left[ \ 1+\cos(x) \ \right]} \ = \ -\bruch{1}{1+\cos(x)} \ = \ -\left[ \ 1+\cos(x) \ \right]^{-1}[/mm]
>
>
> Nun geht's ziemlich zügig mit der Kettenregel.
Super Tipp. Sieht wirklich schöner aus.
Werde es mal durchrechnen.
Danke
Gruß
Anton
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Fr 20.05.2011 | | Autor: | Shizo |
> Wenn man mag, kann man die Funktionsvorschrift vor dem
> Ableiten noch etwas umformen und "leicht" vereinfachen:
>
> [mm]f(x) \ = \ \bruch{\cos(x)-1}{\sin^2(x)} \ = \ \bruch{\cos(x)-1}{1-\cos^2(x)} \ = \ -\bruch{1-\cos(x)}{\left[ \ 1-\cos(x) \ \right]*\left[ \ 1+\cos(x) \ \right]} \ = \ -\bruch{1}{1+\cos(x)} \ = \ -\left[ \ 1+\cos(x) \ \right]^{-1}[/mm]
Meine Ableitung hierfür wäre demnach, sollte ich nichts falsch gemacht haben:
[mm] g'(x)=\bruch{-2sin(x)}{1+cos(x)}
[/mm]
Jetzt hat man mir meine vorige Ableitung abgesegnet.
Wie lässt sich denn nun von der obigen Ableitung sofern diese korrekt ist, auf die folgende schließen?
$ [mm] g'(x)=\bruch{\bruch{x^{2}}{1+x^{2}}+\bruch{2x}{1+x^{2}}-2x\cdot{}arctan(x)+2arctan}{(x^{2}+2x)^{2}} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Fr 20.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anton!
> Meine Ableitung hierfür wäre demnach, sollte ich nichts
> falsch gemacht haben:
>
> [mm]g'(x)=\bruch{-2sin(x)}{1+cos(x)}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Der Nenner muss noch eingeklammert und mit einem Quadrat versehen werden.
> Jetzt hat man mir meine vorige Ableitung abgesegnet.
> Wie lässt sich denn nun von der obigen Ableitung sofern
> diese korrekt ist, auf die folgende schließen?
Gar nicht, da es sich um eine andere Aufgabe handelt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Fr 20.05.2011 | | Autor: | Shizo |
Du hast Recht. Ich habe blindlinks kopiert.
Gemeint war natürlich diese hier:
$ [mm] f'(x)=\bruch{-sin(x)\cdot{}sin^{2}(x)-(cos(x)-1)\cdot{}sin(2x)}{(sin^{2})^{2}} [/mm] $
Sieht ja im Gegensatz zu deiner Option nicht gerade schön aus.
Danke nochmals!!!
Anton
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Hallo Shizo,
> Du hast Recht. Ich habe blindlinks kopiert.
>
> Gemeint war natürlich diese hier:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{-sin(x)\cdot{}sin^{2}(x)-(cos(x)-1)\cdot{}sin(2x)}{(sin^{2})^{2}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Sieht ja im Gegensatz zu deiner Option nicht gerade schön
> aus.
>
> Danke nochmals!!!
>
> Anton
Gruss
MathePower
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