Ableitung von Funktion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Pure |
Hallo, ich kann diese Funktion:
y= 4*sin(x)*cos(x)
einfach nicht ableiten. Welche Regel verwendet man dazu?
Mit dem TI kommt raus: y`= [mm] 8*(cos(x))^{2}-4
[/mm]
Irgendwie klappt es weder mit Produkt- noch mit Kettenregel bei mir, sitze jetzt schon ca eine halbe Stunde davor und mein Selbstvertrauen schrumpft jede Sekunde ...
Könnt ihr mir vielleicht helfen? Wäre echt nett.
LG, Pure
|
|
| |
|
Kettenregel? Wozu das? Das ist doch ein Produkt!
(sin*cos)'=sin'*cos+sin*cos'=cos²-sin²
Und jetzt wissen wir, daß
1=sin²+cos²
Jetzt ziehenwir 2*cos² ab:
1-2cos² =sin²-cos²
Und das nun eingesetzt:
(sin*cos)'=sin'*cos+sin*cos'=cos²-sin²=1-2cos²
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Pure |
Hi, erst mal danke für deine Antwort...
klingt vielleicht blöd, aber ich verstehe davon nicht gerade viel...
Wo ist eigentlich meine 4 bei der ganzen Rechnung geblieben?
Und warum man von [mm] 1=sin^{2}+cos^{2} [/mm] auf einmal [mm] 2*cos^{2} [/mm] abzieht, ist mir leider auch ein Rätsel.
Kann man auch einfach [mm] sin^{2}-cos^{2} [/mm] durch [mm] cos^{2}-sin^{2} [/mm] ersetzen trotz der Vorzeichen?
Danke schon mal!
lg, Pure
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Lueger |
> Hi, erst mal danke für deine Antwort...
> klingt vielleicht blöd, aber ich verstehe davon nicht
> gerade viel...
> Wo ist eigentlich meine 4 bei der ganzen Rechnung
> geblieben?
Das musst du doch noch auf deine Aufgabe umsetzen.
Ausführlich....
$y= 4*sin(x)*cos(x)$
$y'=4 * sin(x) * (-1) *sin(x) + 4 * cos(x) * cos (x)$
[mm] $y'=-4*(sin(x))^2+4(cos(x))^2$
[/mm]
$y'=-4 [mm] ((sin(x))^2-(cos(x))^2)$
[/mm]
$y'=-4 [mm] (sin^2(x)-cos^2(x))$ [/mm] (andere Schreibweise [mm] cos^2(x) [/mm] = [mm] (cos(x))^2 \not= cos(x)^2 [/mm] )
> Und warum man von [mm]1=sin^{2}+cos^{2}[/mm] auf einmal [mm]2*cos^{2}[/mm]
> abzieht, ist mir leider auch ein Rätsel.
> Kann man auch einfach [mm]sin^{2}-cos^{2}[/mm] durch
> [mm]cos^{2}-sin^{2}[/mm] ersetzen trotz der Vorzeichen?
geschicktes Umformen! (auf beiden Seiten also ganz normale [mm] \gdw)
[/mm]
$1 = [mm] sin^2(x) [/mm] + [mm] cos^2(x)$ [/mm] (Einheitskreis)
$1 = [mm] sin^2(x) [/mm] + [mm] cos^2(x) [/mm] $ $ [mm] |-2cos^2(x)$
[/mm]
[mm] $1-2cos^2(x) [/mm] = [mm] sin^2(x) [/mm] + [mm] cos^2(x) [/mm] - [mm] 2cos^2(x)$
[/mm]
[mm] $1-2cos^2(x) [/mm] = [mm] sin^2(x) [/mm] - [mm] cos^2(x)$
[/mm]
das jetzt einsetzten
$y'=-4 [mm] (1-2cos^2(x))$
[/mm]
[mm] $y'=-4+8cos^2(x)$
[/mm]
[mm] $y'=8cos^2(x)-4$
[/mm]
Grüße
Lueger
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Pure |
Oh Gott, stand ich auf dem Schlauch... wie peinlich! *g*
Aber jetzt habe ich es vollkommen verstanden.
Und ich bin dir unendlich dankbar, dass du dir die Mühe gemacht hast, das nochmal so ausführlich hinzuschreiben...
DANKE!!!!!!!!!
Liebe Grüße, Pure
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Mi 13.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pure!
Man kann alternativ auch vorher ein Additionstheorem anwenden: [mm] $2*\sin(x)*\cos(x) [/mm] \ = \ [mm] \sin(2x)$ [/mm] .
Damit wird aus Deiner Funktion: $f(x) \ = \ [mm] 4*\sin(x)*\cos(x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin(2x)$ [/mm] .
Und die Ableitung: $f'(x) \ = \ [mm] 2*\cos(2x)*2 [/mm] \ = \ [mm] 4*\cos(2x)$
[/mm]
Und dies lässt sich ähnlich wie oben oder mittels Additionstheorem in die von Dir genannte Form bringen.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
