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Mein Ansatz:
arcsin ist ja die umkehrfkt. von sin(x)
dann gilt ja:
[mm] \left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)=x
[/mm]
[mm] \left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)'=1
[/mm]
dann per Kettenregel:
[mm] \left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)'=f'\left(g\left(x\right)\right)*g'\left(x\right)=1
[/mm]
---> [mm] f'\left(g\left(x\right)\right)*g'\left(x\right)=1
[/mm]
---> [mm] g'\left(x\right)=\bruch{1}{f'\left(g\left(x\right)\right)}
[/mm]
f(x)=Sin(x)
f'(x)=Cos(x)
g(x)=Arcsin(x)
--> [mm] arcsin'\left(x\right)=\bruch{1}{Cos\left(Arcsin\left(x\right)\right)}
[/mm]
Stimmt das Soweit?
Kann ich das noch vereinfachen????
mfg, michael
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 So 10.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mein Ansatz:
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> arcsin ist ja die umkehrfkt. von sin(x)
>
> dann gilt ja:
> [mm]\left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)=x[/mm]
> [mm]\left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)'=1[/mm]
>
> dann per Kettenregel:
>
> [mm]\left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)'=f'\left(g\left(x\right)\right)*g'\left(x\right)=1[/mm]
>
> ---> [mm]f'\left(g\left(x\right)\right)*g'\left(x\right)=1[/mm]
> --->
> [mm]g'\left(x\right)=\bruch{1}{f'\left(g\left(x\right)\right)}[/mm]
>
> f(x)=Sin(x)
> f'(x)=Cos(x)
> g(x)=Arcsin(x)
>
> -->
> [mm]arcsin'\left(x\right)=\bruch{1}{Cos\left(Arcsin\left(x\right)\right)}[/mm]
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> Stimmt das Soweit?
> Kann ich das noch vereinfachen????
>
> mfg, michael
was soll ich sagen: Da gibt's nichts dran zu meckern (Du könntest vll. noch dazuschreiben, für welche [mm] $x\,$ [/mm] die obige Formel gilt).
Man kann aber durchaus die Formel noch etwas 'weiter entwickeln', so dass die neue Formel vll. ein wenig 'praktikabler' ist, weil sie keine Winkelfunktionen mehr enthält:
Beachte dazu, dass wegen des trigonometrischen Pythagoras
[mm] $$\cos^2(\arcsin(x))+\sin^2(\arcsin(x))=1$$
[/mm]
gilt. Und mit [mm] $\sin^2(\arcsin(x))=\big(\sin(\arcsin(x))\big)^2=x^2$, [/mm] und wenn Du Dir überlegst, dass die auf [mm] $\big[-1,\;1\,\big]$ [/mm] definierte Funktion $x [mm] \mapsto \arcsin(x)$ [/mm] dort streng monoton wachsend ist (und somit [mm] $\arcsin'(x) [/mm] > 0$ für alle $x [mm] \in \big]-1,\;1\,\big[$ [/mm] gelten muss), kommst Du zu der ![[]](/images/popup.gif) Formel für die Ableitung des Arkussinus von Wiki (siehe [mm] $\frac{d}{dx}\arcsin(x)=\ldots$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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