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Forum "Uni-Analysis" - Ableitung mit der Kettenregel
Ableitung mit der Kettenregel < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ableitung mit der Kettenregel: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:02 Fr 15.04.2005
Autor: Farouk

Hallo ich brauche DRINGEND (heute noch) eure Hilfe,

die Aufgabe die zu lösen ist besteht aus zwei Teilen und ist bestimmt nicht so schwer, aber ich stehe wohl etwas auf dem Schlauch.

Also
1. Seien f: R -> )0, [mm] \infty( [/mm] und g: R->R differenzierbar. Zeigen Sie dass dann auch [mm] f^g [/mm] differenzierbar ist und berechnen sie die Ableitung.

Da es sich ja bei der neuen Funktion  [mm] f^g [/mm] um eine zusammengesetzte Funktion zweier differenzierbarer Funktionen  (f o g)  handelt ist  die neue Funktion auch differenzierbar weil ja auch gilt R Teilmenge von R Also der Wertebereich von g ist Teilmenge des Definitionsbereiches von f

Aber wie bildet man die Ableitung (bitte nicht in dieser "dx" Schreibweise)

Also ich hab so Angefangen:

f:= [mm] f^x [/mm]      f'=  ???

g:=g         g'= g'
(was natürlich Blödsinn ist aber nur mal um zu demonstrieren wie ich normalerweise an Lösungen mit der Kettenregel rangehe)

naja und f o g´(x)  ist ja dann: f'(g(x)) * g'(x)
Aber so wirklich komm ich ja da nicht weiter.

Meine Frage zu Teilaufgabe 1 ist also hauptsächlich. Wie bildet man die Ableitung von [mm] f^g [/mm] und was  kommt für ein Ergebins raus?

zu Teilaufgabe 2)  (wohl letztendlich das gleiche Problem)

die Ableitung von [mm] x^{x^x} [/mm]

Ich würde wieder so aufspalten

f:= [mm] x^y [/mm]
g:= [mm] x^x [/mm]

um g'zu berechnen hab ich [mm] x^x [/mm] umgeschreiben in [mm] e^x*lnx [/mm] und dann die Kettenregel angewandt . Da kommt raus [mm] g´=x^x*(1+lnx) [/mm] (bin ich mir auch sicher dass das stimmt.

bei f'bin ich mir gar nicht sicher. Ich bin auch nicht sicher ob der Ansatz überhaupt stimmt mit dem y. Jedenfalls hab ich dann wieder [mm] x^y [/mm] umgeschrieben in [mm] e^y*lnx [/mm] und die Kettenregel angewandt und habe raus f'= [mm] x^y [/mm] *lnx +y/x

so nach meinen Überlegungen würde jetzt folgen die f o  g Formel anzuwenden (-oben) Aber wie soll das aussehen? . Wenn ich für jedes x von f' [mm] x^x [/mm] einsetzte wird das ja eine unüberschaubare Formel?

Wo sind die Fehler. Was mache ich falsch? (ich weiss das im Forster Übungsbuch eine Lösung zur zweiten Teilaufgabe steht aber mit der Schreibweise komme ich nicht klar. Es müsste doch auch mit meiner Methode die sonst immer geklappt hat zu lösen sein)

Danke
Farouk

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
        
Bezug
Ableitung mit der Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:19 Fr 15.04.2005
Autor: Julius

Hallo Farouk!

> Also
> 1. Seien f: R -> )0, [mm]\infty([/mm] und g: R->R differenzierbar.
> Zeigen Sie dass dann auch [mm]f^g[/mm] differenzierbar ist und
> berechnen sie die Ableitung.

> Da es sich ja bei der neuen Funktion  [mm]f^g[/mm] um eine
> zusammengesetzte Funktion zweier differenzierbarer
> Funktionen  (f o g)  handelt ist

Das stimmt so nicht. Es ist eine mehrfache Verkettung bzw. Produktbildung, nämlich:

$x [mm] \mapsto [/mm] f(x)$ ist diffbar
$x [mm] \mapsto \ln(f(x))$ [/mm] ist diffbar (Kettenregel und $f(x)>0$)
$x [mm] \mapsto [/mm] g(x)$ ist diffbar
$x [mm] \mapsto [/mm] g(x) [mm] \cdot \ln(f(x))$ [/mm] ist diffbar (Produktregel)
$x [mm] \mapsto e^{g(x) \cdot \ln(f(x))}$ [/mm] ist diffbar (Kettenregel).

Es sei

[mm] $h(x):=f(x)^{g(x)} [/mm] = [mm] e^{g(x) \cdot \ln(f(x))}$. [/mm]

Dann gilt nach der Ketten- und Produktregel:

$h'(x) = [mm] \left(g'(x) \cdot \ln(f(x)) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \right) \cdot \underbrace{e^{g(x) \cdot \ln(f(x))}}_{=\, f(x)^{g(x)}}$. [/mm]

Jetzt kannst du ja einfach mal b) mit dieser Formel lösen (oder noch einmal selbst herleiten).

Und: Richtig! [ok]

Wir haben hier: [mm] $g(x)=x^x$ [/mm] und $g'(x) = [mm] (1+\ln(x)) \cdot x^x$. [/mm] [applaus], sehr schön! :-)

Viele Grüße
Julius

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