Ableitung ln((x^2-1)/(x^2+1)) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 So 08.01.2006 | | Autor: | DocBorn |
| Aufgabe | Geben sie die Ableitung der folgenden Zuordnungsvorschrift x -> f(x) an.
f(x) = [mm] ln((x^2 [/mm] - 1) / [mm] (x^2 [/mm] + 1)) / 4 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Als Lösung wende ich erstmal die Kettenregel an und erhalte
f'(x) = 1 / (4 * [mm] ((x^2 [/mm] - 1) / [mm] (x^2 [/mm] + 1))' )
durch Anwendung der Quotientenregel erhalte ich
[mm] ((x^2 [/mm] - 1) / [mm] (x^2 [/mm] + 1))' = [mm] ((x^2 [/mm] + 1)2x - [mm] (x^2 [/mm] - 1)2x) / [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^2
[/mm]
dies setzte ich oben wider ein und erhalte nach Umformung
f'(x) = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^2 [/mm] / [mm] (8x((x^2 [/mm] + 1) - [mm] (x^2 [/mm] - 1)))
= [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^2 [/mm] / 16x
leider will mich Derive wehement eines Besseren belehren :) dort erhalte ich
x / [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)(x^2 [/mm] - 1)
und DIE Gleichheit sehe ich so auf anhieb irgendwie nicht :)
Wo habe ich mich denn vertan?
Viele liebe Grüße und Danke im Vorraus
Lars
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Hallo,
also schauen wir mal, wer recht hat. Ich würde vielleicht zunächst folg. Vereinfachung vornehmen:
[mm] f(x)=0,25*ln(\bruch{x^{2}-1}{x^{2}+1}) [/mm] .
Setze [mm] v(x):=\bruch{x^{2}-1}{x^{2}+1}
[/mm]
Dafür können wir nun die Quotientenregel verwenden (Kettenregel natürlich auch). Zunächst berechnen wir vllt. die innere Ableitung:
[mm] (\bruch{(x^{2}-1)}{x^{2}+1})'
[/mm]
[mm] =\bruch{2x*(x^{2}+1)-(x^{2}-1)*2x}{(x^{2}+1)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2x^{3}+2x-2x^{3}+2x}{(x^{2}+1)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{4x}{(x^{2}+1)^{2}}=:u(x)
[/mm]
Dann ist die Ableitung von f:
[mm] f'(x)=\bruch{1}{4*v(x)}*u(x)
[/mm]
Und noch vereinfachen!
Jetzt ABER müsste es stimmen.
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Hallo,
>
> also schauen wir mal, wer recht hat. Ich würde vielleicht
> zunächst folg. Vereinfachung vornehmen:
>
> [mm]f(x)=\bruch{ln(x^{2}-1)}{0,25x^{2}+0,25}[/mm] .
Vorsicht! Der Logarithmus bezog sich im urspruenglichen Posting auf den ganzen Bruch [mm] $\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ [/mm] und nicht nur auf [mm] $(x^2 [/mm] - 1)$!
Im urspruenglichem Posting ist uebrigens gleich am Anfang die Kettenregel falsch angewendet worden.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke ich habe wohl die Schreibweise etwas fehlinterpretiert.
Der Fehler wurde oben behoben und jetzt stimmt's hoffentlich!
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel,
> danke ich habe wohl die Schreibweise etwas
> fehlinterpretiert.
> Der Fehler wurde oben behoben und jetzt stimmt's
> hoffentlich!
Sorry, stimmt immer noch nicht: das /4 gehoert nicht mit in den Logarithmus rein 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Hallo,
>
> also schauen wir mal, wer recht hat. Ich würde vielleicht
> zunächst folg. Vereinfachung vornehmen:
>
> [mm]f(x)=0,25*ln(\bruch{x^{2}-1}{x^{2}+1})[/mm] .
>
> Dafür können wir nun die Quotientenregel verwenden
> (Kettenregel natürlich auch). Zunächst berechnen wir vllt.
> die innere Ableitung:
>
> [mm](\bruch{(x^{2}-1)}{x^{2}+1})'[/mm]
> [mm]=\bruch{2x*(x^{2}+1)-(x^{2}-1)*2x}{(x^{2}+1)^{2}}[/mm]
> [mm]=\bruch{2x^{3}+2x-2x^{3}+2x}{(x^{2}+1)^{2}}[/mm]
> [mm]=\bruch{4x}{(x^{2}+1)^{2}}=:u(x)[/mm]
Nun, das hatte der OP auch schon, wenn auch gut in den Formeln versteckt
> Dann ist die Ableitung von f:
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{4x}*u(x)[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{(x^{2}+1)^{2}}[/mm]
>
> Jetzt müsste es stimmen.
Sorry, leider immer noch nicht: $f'(x) = [mm] \frac{1}{4 \cdot \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}} [/mm] u(x) = ...$
LG Felix
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Hallo Felix,
so jetzt habe ich noch mal...!
Langsam komme ich mir vor, wie ein Anfänger!
Ich brauch mal Urlaub!![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 So 08.01.2006 | | Autor: | DocBorn |
Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort.
Es tut mir allerdings leid, ich komme mit Latex und dieser Art Formeln zu schreiben noch nicht ganz klar, allerdings ist es eigentlich auch da oben so formuliert:
Der Bruch mit [mm] (x^2-1)/(x^2+1) [/mm] steht als ganzes im Argumentum der Logarithmus-Funktion.
Edit: Und jetzt hab' ich auchnoch verraft dieses Posting an die richtige Stelle in diesem Posting-Baum hier zu positionieren. Sorry. Warum habe ich denn die Kettenregel falsch angewendet?
1/4 ist konstanter Faktor, die Äussere Ableitung ist 1/x und die innere hab' ich halt dannach erst gemacht ...
Liebe Grüße
Lars
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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Logarithmengesetzen