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Forum "Schul-Analysis" - Ableitung ln(x)
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Ableitung ln(x): Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:20 Sa 09.04.2005
Autor: Mikey

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,

ich wollte mal wissen, ob ich diese Funktion richtig abgeleitet habe.

f(x)=2xln(1+ [mm] x^{2}) [/mm]

nach Produktregel ( u'*v+u*v' ) folgt also:

u=2x
v=ln(1+ [mm] x^{2}) [/mm]

also:

u'=2
v' muss man dann nochmal nach Kettenregel ( u'(v(x))*v' )ableiten

also:

v'= [mm] \bruch{1}{(1+ x^{2})} [/mm] * 2x

dann folgt:

f'(x)=2ln(1+ [mm] x^{2}) [/mm] + [mm] 2x\bruch{1}{(1+ x^{2})} [/mm] * 2x
=2ln(1+ [mm] x^{2}) [/mm] + [mm] \bruch{4x^{2}}{(1+ x^{2})} [/mm]

wenn man dann den ersten Teil mit (1+ [mm] x^{2}) [/mm] erweitert folgt:

f'(x)= [mm] \bruch{2ln(1+ x^{2}) * (1+ x^{2})}{(1+ x^{2}) } [/mm] + [mm] \bruch{4x^{2}}{(1+ x^{2})} [/mm]
= [mm] \bruch{2ln(1+ x^{2}) * (1+ x^{2}) + 4x^{2}}{(1+ x^{2})} [/mm]
= [mm] \bruch{2ln(1+ x^{2})^{2} + 4x^{2}}{(1+ x^{2})} [/mm]

ist das alles soweit richtig?
        
Bezug
Ableitung ln(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:50 Sa 09.04.2005
Autor: mat84

Hi!


> f'(x)=2ln(1+ [mm]x^{2})[/mm] + [mm]2x\bruch{1}{(1+ x^{2})}[/mm] * 2x
>  =2ln(1+ [mm]x^{2})[/mm] + [mm]\bruch{4x^{2}}{(1+ x^{2})}[/mm]

Die Ableitung ist vollkommen richtig [ok]

> wenn man dann den ersten Teil mit (1+ [mm]x^{2})[/mm] erweitert
> folgt:
>  
> f'(x)= [mm]\bruch{2ln(1+ x^{2}) * (1+ x^{2})}{(1+ x^{2}) }[/mm] +
> [mm]\bruch{4x^{2}}{(1+ x^{2})}[/mm]
>  = [mm]\bruch{2ln(1+ x^{2}) * (1+ x^{2}) + 4x^{2}}{(1+ x^{2})}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{2ln(1+ x^{2})^{2} + 4x^{2}}{(1+ x^{2})}[/mm]
>  
> ist das alles soweit richtig?

Hier ist der Fehler

du hast
[mm]\bruch{2ln(1+ x^{2}) * (1+ x^{2}) + 4x^{2}}{(1+ x^{2})}[/mm]
aber du kannst beide klammern nicht multiplizieren, denn die erste
klammer gehört zum ln, d. h. sie ist die innere Funktion der Logarithmusfunktion, während die zweite Klammer sozusagen "außerhalb" des Logarithmus steht.
Ich weiß auch gar nicht, obs wirklich notwendig ist, das zu einem Bruch zusammenfassen, falls man noch die 2. Ableitung bilden will, wärs evtl. besser, dass so wie oben stehen zu lassen :-)

Gruß
mat84
Bezug
                
Bezug
Ableitung ln(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:46 Sa 09.04.2005
Autor: Mikey

ups, stimmt ;) das eine ist die klammer und das andere das ln, hab mich da verguckt von den klammern her ;) ok, vielen dank fürs nachgucken ;)
Bezug
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