Ableitung komplexwert. Funkt. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Mi 18.10.2006 | | Autor: | QCO |
Vielleicht liegt es daran, dass es schon spät ist oder ich sonst irgendwie verwirrt bin, aber ich frage mich gerade, was die Ableitung bei einer (i.a. ja komplexwertigen) Wellenfunktion ist.
Angefangen hat es mit der Überlegung:
geg.: [mm]f(x) : \IR \mapsto \IC[/mm]
Unter welchen Bedingungen gilt:
[mm]\overline{\bruch{d}{d x} f(x)}= \bruch{d}{d x} \overline{f(x)}[/mm].
Dann hab ich mich gefragt, wie hier die Ableitung überhaupt aussieht.
Vielleicht hab ich ja wie oben beschrieben einen BlackOut, aber ich habe in meinen Matheunterlagen keine Def. einer Ableitung einer komplexwertigen Funktion gefunden.
Wenn ich das mal als Funktion von [mm]\IC \mapsto \IC[/mm] ansehe, wäre das Ding ja keinesfalls komplex diffbar, weil bei den Cauchy-Riemannschen DGL die Ableitungen nach der zweiten Variablen immer 0 wären.
Wer kann mir hier auf die Sprünge helfen?
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Die Ableitung einer komplexwertigen Funktion einer reellen Variablen ist nichts anderes als die simultane Differentiation der zwei reellwertigen Funktionen, die man durch Zerlegung in Real- und Imaginärteil erhält.
[mm]f(t) = u(t) + \operatorname{i} v(t)[/mm] mit reellen [mm]t, u(t), v(t)[/mm]
[mm]f'(t) = u'(t) + \operatorname{i} v'(t)[/mm]
Beispiel:
[mm]f(t) = \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} = \cos{t} + \operatorname{i} \sin{t}[/mm]
[mm]f'(t) = - \sin{t} + \operatorname{i} \cos{t} = \operatorname{i} \left( \cos{t} + \operatorname{i} \sin{t} \right) = \operatorname{i} \operatorname{e}^{\operatorname{i} t}[/mm]
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