Ableitung für 4/x² < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Mo 29.10.2007 | | Autor: | klon |
wir haben in der schule eine ableitung gemacht für die hyperbel 4/x² mit dem dqf.
wir haben dazu den dqf(3,h) genommen.
am ende hatten wir dann dqf(3,h)= -24-4h/[(3+h)² * 3²]
und die ableitung war dann dqf(3,h=0)= ~ 0.29629 (steigung der tangente)
aber das kapier ich irgendwie nicht, weil man doch h nicht kürzen kann und dann für h einfach 0 einsetzen kann.
wenn ihr wisst, was ich meine... normalerweise ist es verboten h = 0 zu setzen, weil h immer ungleich 0 sein muss oder nicht?! danke
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> s.u.
> wir haben in der schule eine ableitung gemacht für die
> hyperbel 4/x² mit dem dqf.
> wir haben dazu den dqf(3,h) genommen.
Ich nehme an, diese Abkürzung bedeutet so etwas wie "der Differenzenquotient von $f$ an der Stelle $3$ mit dem Zuwachs $h$. Also
[mm]\mathrm{dqf}(3,h) := \frac{f(3+h)-f(3)}{h}[/mm]
> am ende hatten wir dann dqf(3,h)= -24-4h/[(3+h)² * 3²]
> und die ableitung war dann dqf(3,h=0)= ~ 0.29629 (steigung
> der tangente)
> aber das kapier ich irgendwie nicht, weil man doch h nicht
> kürzen kann
Doch, um zu diesem Zwischenergebnis zu kommen, hat man den Differenzenquotient mit $h$ gekürzt: und das war auch absolut zulässig, denn wir gehen davon aus, dass [mm] $h\neq [/mm] 0$ (aber vielleicht sehr, sehr klein ist). Der bisherige Rechenverlauf wird also etwa der folgende gewesen sein:
[mm]\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{\frac{4}{(3+h)^2}-\frac{4}{3^2}}{h}=\frac{\red{h\cdot}(-24-4h)}{\red{h\cdot} 9(3+h)^2}=-\frac{24+4h}{9(3+h)^2}[/mm]
Das letzte Gleichheitszeichen gilt, weil, wie gesagt, [mm] $h\neq [/mm] 0$ ist.
> und dann für h einfach 0 einsetzen kann.
> wenn ihr wisst, was ich meine... normalerweise ist es
> verboten h = 0 zu setzen,
Ja, vor allem, wenn eine Division durch diesen Wert von $h$ noch im Spiele ist: was aber, nach dem Kürzen des Zähler und Nenner gemeinsamen Faktors $h$ (in der obigen Umformungssequenz rot markiert) jedoch nicht mehr der Fall ist.
> weil h immer ungleich 0 sein muss oder nicht?!
Du wirst noch einige Theorie über Stetigkeit und Grenzwerte benötigen, um dies ganz klar zu sehen. Aber im Wesentlichen ist es hier so, dass man in der Tat den Wert $0$ (der eigentlich nur der Grenzwert von $h$ sein soll) einsetzen kann: dies liegt daran, dass der nach dem Wegkürzen des Faktors $h$ aus dem Nenner des "dqf(3,h)" verbliebene Term [mm] $-\frac{24+4h}{9(3+h)^2}$ [/mm] eine stetige Funktion von $h$ ist.
Allgemein gilt, dass man bei stetigen Funktionen die Funktionsanwendung und den Grenzübergang vertauschen darf: Hier gilt also, dass [mm] $\lim_{h\rightarrow 0} \mathrm{dqf}(3,h)\red{=}\mathrm{dqf}(3,\lim_{h\rightarrow 0}h)=\mathrm{dqf}(3,0)=-\frac{24+4\cdot 0}{9\cdot(3+0)^2}=-\frac{8}{27}$ [/mm] ist.
Der kritische Schritt ist hier der Übergang beim rot markierten Gleichheitszeichen: der eben Stetigkeit der Funktion [mm] $h\rightarrow \mathrm{dqf}(3,h)$ [/mm] bezüglich dem Argument $h$ voraussetzt.
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