Ableitung eines Integrals < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:49 Sa 13.12.2008 | | Autor: | flowwsen |
Hallo,
kann mir jemand sagen wie man folgendes Integral ableitet/ausrechnet?
[mm] \bruch{d}{dt}( \integral_{0}^{t}{r(t,x)*u(x) dx} [/mm] )
wobei r stetig differenzierbar (in beiden Komponenten) und u stetig sei. Ich stolper darüber, weil die Grenze veränderlich ist. Sonst könnte ich doch eigentlich die Ableitung einfach ins Integral ziehen. Und dann das Integral leicht ausrechnen. (einfache Anwendung des Hauptsatzes der I.)
Vielen dank im vorraus für die Hilfe!
Grüße flowwsen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Sa 13.12.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> kann mir jemand sagen wie man folgendes Integral
> ableitet/ausrechnet?
> [mm]\bruch{d}{dt}( \integral_{0}^{t}{r(t,x)*u(x) dx}[/mm] )
> wobei r stetig differenzierbar (in beiden Komponenten) und
> u stetig sei. Ich stolper darüber, weil die Grenze
> veränderlich ist. Sonst könnte ich doch eigentlich die
> Ableitung einfach ins Integral ziehen. Und dann das
> Integral leicht ausrechnen. (einfache Anwendung des
> Hauptsatzes der I.)
> Vielen dank im vorraus für die Hilfe!
> Grüße flowwsen
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
bekannterweise (?) ist [mm] \integral_{a}^{t}{f(x) dx} [/mm] eine Stammfunktion von f(t). (Bekannter ist dieser Satz mit vertauschten Variablen x und t). Also ist [mm] \integral_{0}^{t}{r(t,x)*u(x) dx} [/mm] eine Stammfunktion von f(t)=r(t,x)*u(x).
Sehe ich das falsch, oder kann man x bzw. u(x) wie eine Konstante behandeln, weil wir ja nach t ableiten?
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:05 Sa 13.12.2008 | | Autor: | flowwsen |
Hallo,
zunächst vielen Dank für deine schnelle Antwort.
f(t)=r(t,x)*u(x). Kann eigentlich keine Stammfunktion zu dem Integral sein, da diese nur von t abhängen dürfte.
Warum sollte [mm] \integral_{a}^{t}{f(x) dx} [/mm] eine Stammfunktion von f(t) sein? Gilt nach dem Hauptsatz der Integralrechnung nicht [mm] \integral_{t}^{a}{f(x) dx} [/mm] = F(t)-F(a)? Das wäre doch nur eine Stammfunktion wenn F(a) zufällig 0 wäre.
Hat vielleicht jemand noch eine andere Idee zur obigen Frage?
Grüße Florian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Florian,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Eine Stammfunktion von $f(x)_$ ist eine Funktion $F(x)_$ , deren Ableitung wiederum $f(x)_$ ergibt.
Für ein konstantes $a_$ bzw. damit auch $F(a)_$ ist diese Eigenschaft genau gegeben, da [mm] $\left[ \ F(a) \ \right]' [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Hallo flowwsen,
> Hallo,
> zunächst vielen Dank für deine schnelle Antwort.
> f(t)=r(t,x)*u(x). Kann eigentlich keine Stammfunktion zu
> dem Integral sein, da diese nur von t abhängen dürfte.
> Warum sollte [mm]\integral_{a}^{t}{f(x) dx}[/mm] eine Stammfunktion
> von f(t) sein? Gilt nach dem Hauptsatz der Integralrechnung
> nicht [mm]\integral_{t}^{a}{f(x) dx}[/mm] = F(t)-F(a)? Das wäre doch
> nur eine Stammfunktion wenn F(a) zufällig 0 wäre.
> Hat vielleicht jemand noch eine andere Idee zur obigen
> Frage?
Betrachte hier
[mm]F\left(t,x\right):=\integral_{}^{}{f\left(t,x\right) \ dx}=\integral_{}^{}{r\left(t,x\right) u\left(x\right) \ dx}[/mm]
Demnach ist
[mm]\integral_{0}^{t}{r\left(t,x\right) u\left(x\right) \ dx}=\left F\left(t,x\right)\right|_{x=0}^{x=t}\right[/mm]
So jetzt leiten wir [mm]F\left(t,x\right)[/mm] nach der Kettenregel ab,
da x auch von t abhängig ist:
[mm]\left\bruch{\partial F}{\partial t}+\bruch{\partial F}{\partial x}\bruch{dx}{dt}\right|_{x=0}^{x=t}[/mm]
> Grüße Florian
Gruß
MathePower
|
|
|
|
