Ableitung einer e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Mi 26.01.2011 | | Autor: | timsaid |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Extrempunkte und bestimmen Sie die Wendepunkte von fk im oben angegebenen
Definitionsbereich.
Funktion lautet: [mm] k*e^t/(1+e^t)^2 [/mm] |
Hey Leute :)
Ich habe Probleme mit der Ableitung der oben genannten Funktion :(
Ich komme nur bis zu einem bestimmten Punkt und nicht weiter.
Ich weiß das ich zum ableiten der Funktion die Kettenfunktion verwenden muss. Dies schaffe ich auch (glaube ich zu mindest).
Das Zusammenfassen fällt mir jedoch sehr, sehr schwer.
Hier ein Lösungsansatz:
f(t)= [mm] k*e^t/(1+e^t)^2 [/mm] = [mm] k*e^t*(1+e^t)^-2
[/mm]
[mm] f'(t)=k*e^t*(1+e^t)^{-2}+k*e^t*(-2)*(1+e^t)^{-3} *e^t
[/mm]
Und weiter komme ich nicht. Habe schon alles versucht um das Zusammenfassen zu können, komme aber nicht auf das Ergebniss von: [mm] k*e^t*(1-e^t) [/mm] / [mm] (1+e^t)^3
[/mm]
Hoffe ihr könnt mir helfen :)
Euer Tim
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Tim,
Dein Ergebnis und die Musterlösung liegen doch recht nah beieinander. 
> Berechnen Sie die Extrempunkte und bestimmen Sie die
> Wendepunkte von fk im oben angegebenen
> Definitionsbereich.
> Funktion lautet: [mm]k*e^t/(1+e^t)^2[/mm]
>
> Hey Leute :)
> Ich habe Probleme mit der Ableitung der oben genannten
> Funktion :(
>
> Ich komme nur bis zu einem bestimmten Punkt und nicht
> weiter.
> Ich weiß das ich zum ableiten der Funktion die
> Kettenfunktion verwenden muss. Dies schaffe ich auch
> (glaube ich zu mindest).
> Das Zusammenfassen fällt mir jedoch sehr, sehr schwer.
> Hier ein Lösungsansatz:
> f(t)= [mm]k*e^t/(1+e^t)^2[/mm] = [mm]k*e^t*(1+e^t)^-2[/mm]
> [mm]f'(t)=k*e^t*(1+e^t)^{-2}+k*e^t*(-2)*(1+e^t)^{-3} *e^t[/mm]
Aha. Das ist ein sparsamer Rechenweg, so über die Produktregel. Das ist gut hier, und richtig gerechnet.
> Und weiter komme ich nicht. Habe schon alles versucht um
> das Zusammenfassen zu können, komme aber nicht auf das
> Ergebniss von: [mm]k*e^t*(1-e^t)[/mm] / [mm](1+e^t)^3[/mm]
Na, wenn Du das Ziel doch schon vor Augen hast, sollte das eigentlich nicht so schwer sein:
[mm] f'(t)=k*e^t*(1+e^t)^{-2}+k*e^t*(-2)*(1+e^t)^{-3}*e^t=
[/mm]
[mm] =k*e^t*\left((1+e^t)^{\blue{-3}}*(1+e^t)-2e^t(1+e^t)^{-3}\right)=
[/mm]
[mm] =\bruch{k*e^t}{(1+e^t)^3}(1+e^t-2e^t)=\cdots
[/mm]
Fertig, oder?
Grüße,
reverend
> Hoffe ihr könnt mir helfen :)
> Euer Tim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mi 26.01.2011 | | Autor: | timsaid |
Erst einmal Danke für die sehr schnelle Antwort :)
Nun zu der Aufgabe:
Wie ich sehe haben sie das ganze Ausgeklammert?! und dadurch ist der Term [mm] (1+e^t) [/mm] entstanden der dann zusammgefasst werden kann mit dem Term [mm] (1+e^t)^{-2} [/mm] was zu [mm] (1+e^t)^{\blue{-3}} [/mm] führt. Aber wenn nun dieses k vor der Klammer steht, wird es doch eigentlich mit allem innerhalb der Klammern multipliziert oder nicht?
[mm] f'(t)=k*e^t*(1+e^t)^{-2}+k*e^t*(-2)*(1+e^t)^{-3}*e^t= [/mm]
[mm] =k*e^t*\left((1+e^t)^{\blue{-3}}*(1+e^t)-2e^t(1+e^t)^{-3}\right)= [/mm]
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Hallo, schreiben wir die Ableitung so
[mm] f'(x)=\bruch{k*e^{t}}{(1+e^{t})^{2}}-\bruch{2*k*e^{t}*e^{t}}{(1+e^{t})^{3}}
[/mm]
1. Summanden mit [mm] (1+e^{t}) [/mm] erweitern
[mm] f'(x)=\bruch{k*e^{t}*(1+e^{t})}{(1+e^{t})^{3}}-\bruch{2*k*e^{t}*e^{t}}{(1+e^{t})^{3}}
[/mm]
alles auf einen Bruchstrich
[mm] f'(x)=\bruch{k*e^{t}*(1+e^{t})-2*k*e^{t}*e^{t}}{(1+e^{t})^{3}}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{k*e^{t}+k*e^{t}*e^{t}-2*k*e^{t}*e^{t}}{(1+e^{t})^{3}}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{k*e^{t}-k*e^{t}*e^{t}}{(1+e^{t})^{3}}
[/mm]
im Zähler [mm] k*e^{t} [/mm] ausklammern
[mm] f'(x)=\bruch{k*e^{t}*(1-e^{t})}{(1+e^{t})^{3}}
[/mm]
wie gesagt, viele Wege führen nach Rom
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mi 26.01.2011 | | Autor: | timsaid |
Vielen Vielen Dank Steffi21,
hat mir sehr geholfen.
Hab noch mal einen anderen Weg aufgegriffen,
undzwar das hier abgeleitet [mm] k*(e^t*1/(1+e^t)^2). [/mm] Das war wesentlich leichter für mich :)
Der Tipp mit dem erweitern war der Schlüßel, der mich zur Lösung brachte :)
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Hallo Tim,
> Der Tipp mit dem erweitern war der Schlüßel, der mich
> zur Lösung brachte :)
Genau das habe ich auch getan: Erweitern. Ich hatte den Eindruck, dass Du die Schreibweise mit negativen Exponenten gut beherrschst - aber hier scheinst Du den Überblick verloren zu haben. Nicht schlimm, das passiert ja jedem immer mal wieder. Schau noch mal nach, Steffi hat im Prinzip das gleiche in Bruchschreibweise aufgeschrieben.
Im Idealfall sollten Dir beide Schreibweisen gleich geläufig sein.
Liebe Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Mi 26.01.2011 | | Autor: | timsaid |
Stimmt, da hast du recht :) Beides ist so ziehmlich das selbe :) Ich wage mich nun an die 2te Ableitung :O
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mi 26.01.2011 | | Autor: | timsaid |
Könnte man das nicht eigentlich auch mit der Quotientenregel ableiten? ... Aber dann kommt als nenner [mm] (1+e^t)^4 [/mm] raus. mhm
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Klar kann man das mit der Quotientenregel ableiten.
Die vierte Potenz im Nenner wird sich durch Kürzen um 1 reduzieren - wie immer bei der Quotientenregel.
Grüße
reverend
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