Ableitung einer Sinusfunktion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Ihr Mathematiker!
Könnte mir jemand detailliert die 3 ersten Ableitungen von der Funktion:
f(x)= sin((x/3)-((3/2)*pi))
klammerinhalt in worten: x drittel minus drei halbe mal kreiszahl pi.
Am besten mit kurzer Notiz, wann welche Ableitungsregel angewandt wurde.
Tausend Dank Marco!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marco!
Es gibt hier nur die 1. Ableitung von mir ... der Rest ist dann wieder Dein Job.
Du benötigst hier die Ableitungen für die Winkelfunktionen sowie die  Kettenregel.
$$f(x) \ = \ [mm] \sin\left(\blue{\bruch{1}{3}}*x-\bruch{3}{2}*\pi\right)$$
[/mm]
$$f'(x) \ = \ [mm] \cos\left(\bruch{1}{3}*x-\bruch{3}{2}*\pi\right)*\blue{\bruch{1}{3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}* \cos\left(\bruch{1}{3}*x-\bruch{3}{2}*\pi\right)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Danke erstmal für Deine Hilfe!!!
Hab noch ne weitere Frage und zwar zur Symetrie des Graphen!
$ f(x) \ = \ [mm] \sin\left(\blue{\bruch{1}{3}}\cdot{}x-\bruch{3}{2}\cdot{}\pi\right) [/mm] $
Was für eine Symetrie liegt vor? wenn ich mir das ansehe, dann sollte doch eigentlich symetrie zur y achse vorliege, da das doch an der gespiegelt ist, oder?
Jedoch kommen nur ungerade hochzahlen bei x vor was symetrie zum Ursprng mit sich ziehen würde, bin ratlos :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mi 21.01.2009 | | Autor: | abakus |
> Danke erstmal für Deine Hilfe!!!
> Hab noch ne weitere Frage und zwar zur Symetrie des
> Graphen!
>
> [mm]f(x) \ = \ \sin\left(\blue{\bruch{1}{3}}\cdot{}x-\bruch{3}{2}\cdot{}\pi\right)[/mm]
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> Was für eine Symetrie liegt vor? wenn ich mir das ansehe,
> dann sollte doch eigentlich symetrie zur y achse vorliege,
> da das doch an der gespiegelt ist, oder?
> Jedoch kommen nur ungerade hochzahlen bei x vor was
> symetrie zum Ursprng mit sich ziehen würde, bin ratlos :/
Hallo,
die Funktion [mm]f(x) \ = \ \sin\left(\blue{\bruch{1}{3}}\cdot{}x\right)[/mm] ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Die Funktion [mm]f(x) \ = \ \sin\left(\blue{\bruch{1}{3}}\cdot{}(x-a)\right)[/mm] verschiebt den gesamten Graphen um a Einheiten in x-Richtung, sodass die verschobene Funktion im allgemeinen weder punktsymmetrisch noch achsensymmetrisch ist.
Für ganz spezielle Verschiebungsweiten ist die Funktion allerdings trotzden punktsymmetrisch oder eben auch achsensymmetrisch. (Wenn eine punktsymmetrische Sinusfunktion um ein Viertel der Periodenlänge verschoben wird, wird sie achsensymmetrisch.
Randbemerkung zu deiner Aussage mit den "ungeraden Hochzahlen": Das mit den Hochzahlen gilt nur für "reine" Funktionen. Die Funktion [mm] y=x^2 [/mm] ist achsensymmetrisch, die Funktion [mm] y=(x-3)^2 [/mm] ist wegen ihrer waagerechten Verschiebung um 3 Einheiten nicht symmetrisch zur y-Achse, denn [mm] (x-3)^2=x^2-6x+9 [/mm] enthält bei genauerem Hnsehen gerade und ungerade Hochzahlen.
Gruß Abakus
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Mich verwirrt eben die Tatsache, das wenn ich es grafisch mit dem rechner darstelle, es mir scheint als ob der Graf links und rechts neben der y achse exakt gleich aussieht.. -> somit symetrisch zur y achse ist.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sieht für mich auf beiden seiten gleich aus...
Also du meinst das keine Punktsymetrie und keine Y achsen symetrie vorliegt? Liegt denn sonst eine symetrie vor? is diese nachweisebar?
Danke schonmal :D
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Adamantin |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
( Mach doch einen einfachen Test:
$ f(\pi)=sin(\bruch{1}{3}*\pi-\bruch{3}{2}*\pi)=sin(-\bruch{7}{6}\pi}) $
$ f(-\pi)=sin(-\bruch{1}{3}*\pi-\bruch{3}{2}*\pi)=sin(-\bruch{11}{6}\pi}) $ )
Angeblich ist der Test oben ja kein Beweis, obwohl man argumentieren könnte, dass es sich um eine normale Sinusfunktion handelt und daher keine Veränderung außer einer Streckung und Stauchung vorgenommen wird, somit die Periodizität trotz alledem gewährleistet ist. Wenn also \pi und -\pi den selben Wert liefern, ist dies ein Indiz
Beides ergibt 1/2, damit ist es y-Achsen-Symmetrie, also GLück gehabt, den speziellen Wert erwischt
Dies kann man auch rechnerisch begründen, indem man schaut, um wie viel verschoben wurde:
Periode von \bruch{2*\pi}{\bruch{1}{3}}=6*\pi
von 6\pi ist ein Viertel genau \bruch{3}{2}\pi also genau die Strecke, um die die Funktion verschoben ist!
Und es gilt sin(x-\bruch{\pi}{2})=cos(x)
Demnach auch:
$ sin(\bruch{1}{3}*x-\bruch{3}{2}*\pi)=cos(\bruch{1}{3}*x) $
Und der cos ist symmetrisch zur y-Achse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Mi 21.01.2009 | | Autor: | informix |
Hallo Adamantin,
> Mach doch einen einfachen Test:
>
> [mm]f(\pi)=sin(\bruch{1}{3}*\pi-\bruch{3}{2}*\pi)=sin(-\bruch{7}{6}\pi})[/mm]
>
> [mm]f(-\pi)=sin(-\bruch{1}{3}*\pi-\bruch{3}{2}*\pi)=sin(-\bruch{11}{6}\pi})[/mm]
>
> Beides ergibt 1/2, damit ist es y-Achsen-Symmetrie, also
> GLück gehabt, den speziellen Wert erwischt
>
mit deiner Rechnung ist noch "gar nichts" bewiesen: die Funktion ist erst dann achsensymmetrisch, wenn "für alle zulässigen" $x [mm] \in [/mm] D$ gilt: f(x)=f(-x) siehe auch: symmterische Funktionen...
Gruß informix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Adamantin |
dann siehe weitere Erklärung, damit gehts, aber danke für den TIpp
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Hallo, deine Skizze ist korrekt, die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse
[mm] f(x)=sin(\bruch{x}{3}-\bruch{3}{2}\pi)
[/mm]
[mm] f(x)=sin[\bruch{1}{3}(x-\bruch{9}{2}\pi)]
[/mm]
überlegen wir uns, was bewirkt was:
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] verändert die kleinste Periode auf [mm] 6\pi [/mm] berechne [mm] 2\pi:\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] -\bruch{9}{2}\pi=-4,5\pi [/mm] verschiebt die Funktion um 0,75 Perioden entlang der x-Achse berechne [mm] \bruch{4,5\pi}{6\pi}
[/mm]
Steffi
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