Ableitung einer Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Sa 07.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Hallo
Ich rechner gerade eine Aufgabe zur übung:
Bestimmen sie die Ableitung der funktion [mm] f(x)=5x^2+h [/mm] mit dem Differenzenquotienten.
Rechnung:
Limes [mm] \limes_{h \to \infty}=\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
eingesetzt: [mm] \limes_{h \to \infty}=\bruch{5(x+h)^2+3(x+h)-(5x^2+3)}{h}
[/mm]
[mm] \limes_{h \to \infty}=\bruch{5(x^2+2xh+h^2)+3x+3h-5x^2+3}{h}
[/mm]
[mm] \limes_{h \to \infty}=\bruch{10xh+5h^2+3x+3h+3}{h}
[/mm]
[mm] \limes_{h \to \infty}=\bruch{10xh+5x^2+3x+3h}{h}
[/mm]
Und jetzt komme ich nicht mehr weiter. Über Hilfe würde ich mich freuen!
Danke im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Sa 07.03.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo damn1337,
der Ansatz ist fast okay, aber Du bist mit den vielen h-Variablen durcheinander gekommen, da man gerne h für die Schrittweite des Differenzenverfahrens nimmt, du aber auch h als Konstante in Deiner Funktion hast.
Die Differenzen werden übrigens immer kleiner und laufen nicht gegen Unendlich.
Probiere doch das Ganze mal mit einer Schrittweite d aus, dann hast Du
$$ f(x) = 5 [mm] x^2 [/mm] + h $$ und dann
$$ f(x+d) = 5 [mm] (x+d)^2 [/mm] + h [mm] \, [/mm] .$$
Jetzt die Differenz bilden, durch d teilen und diesen Ausdruck dann auswerten für [mm] d \rightarrow 0 [/mm]. Dann sollte das Richtige rauskommen.
Viel Erfolg dabei,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Sa 07.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Oh, entschuldige, ich habe mich beim abtippen der Aufgabe vertan.
Die Aufgabe ist [mm] f(x)=5x^2+3
[/mm]
Und das h immer kleiner wird ist mir klar, allerdings habe ich das in dem Formeleditor nicht gefunden.
Ich habe jetzt noch einmal über die Aufgabe drüber geschaut und bin mit relativ sicher, dass es bis zum letzten Schritt eigentlich Stimmen müsste, weill heißen: ich finde keinen Fehler.
die Ableitung müsste ja eigentlich f'(x)=10x sein. d.h im letzten Schritt müssten sich die [mm] \bruch{5x^2+3x+3h}{h} [/mm] ja eigentlich auflösen, oder etwa nicht?
Danke im Vorraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Sa 07.03.2009 | | Autor: | Infinit |
Ja, das ist ja eine andere Aufgabe.
Trotzdem, so wie Du rechnest, scheint die Funktion
$$ f(x) = 5 [mm] x^2 [/mm] + 3x $$ zu heissen und nicht
$$ f(x) = 5 [mm] x^2 [/mm] + 3 $$
Was stimmt denn nun?
VG,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Sa 07.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Also, [mm] f(x)=5x^2+3 [/mm] ist die Aufgabe.
Und ich glaube ich habe meinen Fehler gefunden:
$ [mm] \limes_{h \to \infty}=\bruch{5(x+h)^2+3(x+h)-(5x^2+3)}{h} [/mm] $ ist falsch!
es müsste heißen: $ [mm] \limes_{h \to \infty}=\bruch{5(x+h)^2+3-(5x^2+3)}{h} [/mm] $
Stimmt das? das (x+h) käme ja nur in die Rechnung, wenn hinter der 3 ein x stehen würde und es hieße [mm] (x+h)^2 [/mm] wenn es [mm] 3x^2 [/mm] wäre, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Sa 07.03.2009 | | Autor: | Infinit |
Dann ist alles klar.
VG,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Sa 07.03.2009 | | Autor: | glie |
> Also, [mm]f(x)=5x^2+3[/mm] ist die Aufgabe.
>
> Und ich glaube ich habe meinen Fehler gefunden:
>
> [mm]\limes_{h \to \infty}=\bruch{5(x+h)^2+3(x+h)-(5x^2+3)}{h}[/mm]
> ist falsch!
> es müsste heißen: [mm]\limes_{h \to \infty}=\bruch{5(x+h)^2+3-(5x^2+3)}{h}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das sieht gut aus! Muss aber der Limes für h [mm] \to [/mm] 0 sein
>
> Stimmt das? das (x+h) käme ja nur in die Rechnung, wenn
> hinter der 3 ein x stehen würde und es hieße [mm](x+h)^2[/mm] wenn
> es [mm]3x^2[/mm] wäre, oder?
genau!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Sa 07.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Okay, ihr habt wieder mal sehr gut geholfen. Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Sa 07.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
Hallo
Ich lerne gerade für die nächste Mathe Klausur, deshalb habe ich heute ziemlich viele Fragen.
Also, ich möchte mit hilfe des Differenzenquotienten, die Steigung in einem Punkt ermitteln.
[mm] f(x)=5x^2+3
[/mm]
Und ich möchte die Steigung im Punkt x=2 ermitteln.
Jetzt habe ich folgendes getan.
--> f'(2)= [mm] \limes_{h \to \ 0}=\bruch{5(2+h)^2+3-(5x^2+3)}{h}
[/mm]
dann
f'(2)= [mm] \limes_{h \to \ 0}=\bruch{5(4+4h+h^2)+3-(5x^2+3}{h}
[/mm]
dann
f'(2)= [mm] \limes_{h \to \ 0}=\bruch{20+20h+5h^2+3-5x^2-3}{h}
[/mm]
dann
f'(2)= [mm] \limes_{h \to \ 0}=\bruch{20+20h+5h^2-5x^2}{h}
[/mm]
Jetzt komme ich nicht mehr weiter! Ist der Ansatz so richtig? oder is es völlig Falsch?
Danke im Vorraus
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> Hallo
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> Ich lerne gerade für die nächste Mathe Klausur, deshalb
> habe ich heute ziemlich viele Fragen.
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> Also, ich möchte mit hilfe des Differenzenquotienten, die
> Steigung in einem Punkt ermitteln.
>
> [mm]f(x)=5x^2+3[/mm]
>
> Und ich möchte die Steigung im Punkt x=2 ermitteln.
>
> Jetzt habe ich folgendes getan.
>
> --> f'(2)= [mm]\limes_{h \to \ 0}=\bruch{5(2+h)^2+3-(5x^2+3)}{h}[/mm]
>
> dann
> f'(2)= [mm]\limes_{h \to \ 0}=\bruch{5(4+4h+h^2)+3-(5x^2+3}{h}[/mm]
>
> dann
> f'(2)= [mm]\limes_{h \to \ 0}=\bruch{20+20h+5h^2+3-5x^2-3}{h}[/mm]
>
> dann
> f'(2)= [mm]\limes_{h \to \ 0}=\bruch{20+20h+5h^2-5x^2}{h}[/mm]
>
> Jetzt komme ich nicht mehr weiter! Ist der Ansatz so
> richtig? oder is es völlig Falsch?
>
> Danke im Vorraus
Die Vorgehensweise ist richtig.
Nur wenn du [mm] x = 2 [/mm] setzt, dann musst du das auch überall tun, wo dein [mm]x[/mm] vorkommt. Also auch in den [mm]5x^2[/mm]. 
Wenn du das berücksichtigst, solltest du zum Ziel kommen, zumal du das ganze vorhin ja schon allgemein gemacht hast, was eigentlich schwerer ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 Sa 07.03.2009 | | Autor: | damn1337 |
oh, okay
Da war ich mir nicht sicher ob ich auch dort für x=2 einsetzen muss. Danke!
Ihr helft echt super, muss man euch mal sagen.
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