Ableitung einer Exponentialfkt < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 So 09.03.2008 | | Autor: | euromark |
| Aufgabe | Leite folgende Exponentialfunktion ab:
[mm]\bruch{7e^x}{(2-e^x)^2}[/mm] |
Ich komme dur ch die Quotientenregel auf folgendes Ergebnis:
[mm]\bruch{4-30e^x+7e^2x+7e^3x}{6-3e^x}[/mm]
Das Ergebnis kommt mir komisch vor, habe ich irgendetwas übersehen, da ich leider bei [mm] e^x [/mm] Funktionen noch nicht ganz durchblicke.
Danke im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 So 09.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo euromark!
Da solltest Du schon mal einige Zwischenschritte Deiner Rechnung posten.
Zur e-Funktion brauchst Du bei der Ableitung lediglich wissen, dass gilt:
[mm] $$\left( \ e^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^x$$
[/mm]
Für Deine spezielle Funktion und der  Quotientenregel beginne wie folgt:
$$u \ := \ [mm] 7*e^x [/mm] \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ u' \ = \ ...$$
$$v \ := \ [mm] \left(2-e^x\right)^2 [/mm] \ \ \ [mm] \Rightarrow [/mm] \ \ \ v' \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 So 09.03.2008 | | Autor: | euromark |
[mm] v=7e^x v´=7e^x
[/mm]
u= [mm] (s-e^x)^2 v'=2*(2-e^x)
[/mm]
Dann habe ich folgendes:
[mm]\bruch{2*(2-e^x)+e^x*7e^x-(2-e^x)^2*7e^x}{3*(2-e^x)}[/mm]
Ausmultipliziert und zusammengefasst ergibt es dann das Ergebnis von 1.
Gruß Markus
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Hallo,
[mm] u=7e^{x}
[/mm]
[mm] u'=7e^{x}
[/mm]
ist so korrekt
[mm] v=(2-e^{x})^{2}
[/mm]
[mm] v'=2*(2-e^{x})*(-e^{x})
[/mm]
der Faktor [mm] (-e^{x}) [/mm] kommt von der inneren Ableitung, jetzt wieder Quotientenregel,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 So 09.03.2008 | | Autor: | euromark |
Vielen dank.
Ich habe dann die Quotientenregel angewendet und folgendes aufgestellt:
[mm]\bruch{7e^x*(2*(2-e^x)*(-e^x)-7e^x*(2-e^x)^2}{((2-e^x)^2)^2}[/mm]
Ausmultipliziert kommt bei mir folgendes heraus:
[mm]\bruch{-28e^2x+14e^3x-7e^x*(4-4e^x+e^2x)}{(2-e^x)^4}}[/mm]
=[mm]\bruch{-28e^2x+14e^3x-28e^x+28e^2x-7e^3x}{(2-e^x)^4}[/mm]
=[mm]\bruch{7e^3x-28e^x}{(2-e^x)^4}[/mm]
Stimmt mein Ergebnis, oder kann man da noch etwas kürzen?
Vielen dank im voraus
Gruß Markus
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Hallo!
Es ist [mm] f'(x)=\bruch{u'v-uv'}{v²} [/mm] Demnach was Steffi21 dir sagte kommt folgendes raus:
[mm] f'(x)=\bruch{7e^{x}\cdot(2-e^{x})²+7e^{x}\cdot 2e^{x}\cdot(2-e^{x})}{(2-e^{x})^{4}} [/mm] Bevor wir jetzt zusammenfassen kürzen wir erst einmal durch [mm] (2-e^{x}). [/mm] Es ist die Regel das man erst kürzt bevor man zusammenfasst weil es einfacher ist. Nun folgt nach dem kürzen.
[mm] \Rightarrow f'(x)=\bruch{7e^{x}\cdot(2-e^{x})+7e^{x}\cdot 2e^{x}}{(2-e^{x})³} [/mm] Nun fassen wir zusammen 
[mm] \Rightarrow f'(x)=\bruch{14e^{x}-7e^{2x}+14e^{2x}}{(2-e^{x})³}=\bruch{14e^{x}+7e^{2x}}{(2-e^{x})³} [/mm] Nun klammern wir noch was aus damit es "schöner" da steht:
[mm] \Rightarrow f'(x)=\bruch{7e^{x}(7+e^{x})}{(2-e^{x})³}
[/mm]
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 So 09.03.2008 | | Autor: | euromark |
Vielen dank,
war mir nicht sicher, ob man einfach so kürzen darf, wegen der Summe im Nenner.
Gruß Markus
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