Ableitung e-Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Mi 31.01.2007 | | Autor: | belimo |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:
k) [mm] f(t)=e^{\bruch{3}{t^{2}}} [/mm] |
Hallo Leute
Ich weiss, dass die Ableitung von [mm] e^{x} [/mm] wiederum [mm] e^{x} [/mm] ist. Nun steht das dummerweise noch dieses [mm] t^{2} [/mm] im Exponent von e.
Daraus folgt meiner Meinung nach, dass die  Kettenregel zur Anwendung kommen sollte. Nur fehlt mir gerade die Fähigkeit diese richtig anzuwenden? Vielleicht könnte mir jemand von euch für den allgemeinen Fall mal ein Tipp geben? Vielen Dank!
Gruss belimo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Mi 31.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Generell gilt ga für die Ableitung von verketteten Funktionen f(g(x)).
f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)
Also hier:
[mm] f(y)=e^{y}
[/mm]
[mm] g(t)=\bruch{3}{t²}=3t^{-2}
[/mm]
Also:
[mm] f'(y)=e^{y}
[/mm]
[mm] g'(t)=-6t^{-3}=\bruch{-6}{t³}
[/mm]
Also:
[mm] e^{\bruch{3}{t²}}'=\underbrace{e^{\bruch{3}{t²}}}_{f'(g(t))}*\underbrace{\bruch{-6}{t³}}_{g'(t)}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mi 31.01.2007 | | Autor: | belimo |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktion:
[mm] f(z)=\wurzel{\bruch{z+1}{z-1}} [/mm] |
Super danke, stimmt genau  Ich habe sogar selber rausgefunden, wie du auf [mm] g(t)=\bruch{3}{t²}=3t^{-2} [/mm] gekommen bist **stolzbin** (Quotientenregel).
Ich habe (vgl. Aufgabe) gleich noch ein weiteres Ableitungsproblem:
[mm] f'(z)=\bruch{1}{2*\wurzel{\bruch{z+1}{z-1}}}*\bruch{-2}{(z-1)^{2}} [/mm] (Mein Versuch)
Jetzt komme ich da aber nicht mehr weiter. Ich habe nämlich mal das Resultat gespickt und das soll lauten:
[mm] \bruch{1}{(1-z)*\wurzel{z^{2}-1}}
[/mm]
Und irgendwie kommt mir das so gar nicht ähnlich vor ;-( Danke für die Unterstützung.
Gruss belimo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mi 31.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktion:
>
> [mm]f(z)=\wurzel{\bruch{z+1}{z-1}}[/mm]
> Super danke, stimmt genau Ich habe sogar selber
> rausgefunden, wie du auf [mm]g(t)=\bruch{3}{t²}=3t^{-2}[/mm]
> gekommen bist **stolzbin** (Quotientenregel).
Muss dich leider enttäuschen, hier brauchst du die Quotientenregel nicht, nur die Regel: [mm] f(x)=x^{n} f'(x)=nx^{n-1}
[/mm]
>
> Ich habe (vgl. Aufgabe) gleich noch ein weiteres
> Ableitungsproblem:
>
>
[mm] f'(z)=\bruch{1}{2*\wurzel{\bruch{z+1}{z-1}}}*\bruch{-2}{(z-1)^{2}} [/mm]
Korrekt
> (Mein Versuch)
>
> Jetzt komme ich da aber nicht mehr weiter. Ich habe nämlich
> mal das Resultat gespickt und das soll lauten:
>
> [mm]\bruch{1}{(1-z)*\wurzel{z^{2}-1}}[/mm]
Jetzt mal auf einen Bruch schreiben:
[mm] \bruch{1*(-2)}{{2*\wurzel{\bruch{z+1}{z-1}}}*(z-1)²}
[/mm]
[mm] =\bruch{-1}{\bruch{\wurzel{z+1}}{\wurzel{z-1}}*(z-1)²}
[/mm]
[mm] =\bruch{-\wurzel{z-1}}{\wurzel{z+1}(z-1)²}
[/mm]
[mm] =\bruch{-\wurzel{z-1}*\wurzel{z-1}}{\wurzel{z+1}*\wurzel{z-1}(z-1)²}
[/mm]
[mm] =\bruch{-(z-1)}{\wurzel{(z+1)(z-1)}(z-1)²}
[/mm]
[mm] =\bruch{-1}{\wurzel{z²-1}(z-1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{-(z-1)\wurzel{z²-1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{(-z+1)\wurzel{z²-1}}
[/mm]
>
> Und irgendwie kommt mir das so gar nicht ähnlich vor ;-(
> Danke für die Unterstützung.
>
> Gruss belimo
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Do 01.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo belimo!
>
> > > Muss dich leider enttäuschen, hier brauchst du die
> > > Quotientenregel nicht, nur die Regel: [mm]f(x)=x^{n}
> f'(x)=nx^{n-1}[/mm]
>
> >
> > Ne, ich will ja am Schluss [mm]\bruch{-6}{t^{3}}.[/mm] Und dafür
> > brauch ich doch die Quotientenregel?
>
> Naja, wenn du [mm]3t^{-2}[/mm] einfach so stehen lässt, kannst du
> direkt die Potenzregel anwenden. Aber mit der
> Quotientenregel geht's natürlich auch.
>
> >
> [mm]=\bruch{-\wurzel{z-1}*\wurzel{z-1}}{\wurzel{z+1}*\wurzel{z-1}(z-1)²}[/mm]
> > > [mm]=\bruch{-(z-1)}{\wurzel{(z+1)(z-1)}(z-1)²}[/mm]
> > > [mm]=\bruch{-1}{\wurzel{z²-1}(z-1)}[/mm]
> > > [mm]=\bruch{1}{-(z-1)\wurzel{z²-1}}[/mm]
> > > [mm]=\bruch{1}{(-z+1)\wurzel{z²-1}}[/mm]
> >
> > Wahnsinn, dass du das einfach so aus dem Handgelenk
> > hinschreiben kannst Hut ab ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
>
> Na, wer weiß, ob das so einfach aus dem Handgelenk war.
> Vielleicht war auch ein Schmierzettel ein kleiner
> Zwischenstop.
Hallo.
Ohne Schmierzettel geht das nicht, aber wenn man weiss, wo man "hin" will, ist das grösste Problem schonmal gelöst.
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
Marius
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