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| Aufgabe | Es sei gegeben eine stetige Funktion f:R->R
Zeigen Sie: [mm] F(x)=\integral_{-a}^{a}{f(x+t) dt} [/mm] , [mm] x\varepsilon\IR, [/mm] a>0
ist auf [mm] \IR [/mm] differenzierbar.
Berechnen Sie die Ableitung! |
Hallo!
Ich habe einen Ansatz, bin mir aber wirklich nicht sicher ob das schon ausreicht:
Weil f auf [mm] \IR [/mm] stetig ist, darf ich Ableitung und Integral vertauschen:
[mm] \bruch{d}{dx}\integral_{-a}^{a}{f(x+t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{-a}^{a}{\bruch{df(x+t)}{dx} dt} [/mm] = [mm] \integral_{-a}^{a}{f'(x+t) dt}
[/mm]
Ist das etwa alles? Oder bin ich auf dem Holzweg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Sa 04.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Von Differenzierbarkeit von f(x) ist in den Vors. nichts gesagt, also darfst du natürlich f'(x) nicht benutzen!
nimm nur mal f(x)=|x| etwa
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Sa 04.11.2006 | | Autor: | papillon |
Stimmt!
Aber wie gehe ich dann vor? Das Vertauschen ist in Ordnung, nehme ich mal an. Aber weiter weiß ich leider nicht...
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Beachte, daß [mm]x+t[/mm] im Argument von [mm]f[/mm] nur eine Verschiebung bewirkt. Es gilt daher:
[mm]F(x) = \int_{-a}^a~f(x+t)~\mathrm{d}t = \int_{x-a}^{x+a}~f(u)~\mathrm{d}u = \int_0^{x+a}~f(u)~\mathrm{d}u \ - \ \int_0^{x-a}~f(u)~\mathrm{d}u[/mm]
Formal ist das eine Anwendung der Substitutionsregel.
Und jetzt wende auf beide Summanden den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an. Die inneren Funktion [mm]x \mapsto x+a[/mm] bzw. [mm]x \mapsto x-a[/mm] sind harmlos, da sie die Ableitung konstant 1 besitzen.
Was ist also [mm]F'(x)[/mm]?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 So 05.11.2006 | | Autor: | papillon |
Danke erstmal für die kompetente Hilfestellung!
Das leuchtet mir alles soweit ein, nur eine kleine Frage: Warum muss das Integral von x-a bis 0 und von 0 bis x+a aufgeteilt werden. Könnte man nicht gleich den Hauptsatz anwenden, also so:
[mm] F(x)=\integral_{x-a}^{x+a}{f(u) du}=F(x+a)-F(x-a)
[/mm]
Es kommt ja in beiden Fällen das gleiche raus, oder?
Und noch ne kleine Frage: Die Stammfunktion darf ich bilden, weil die Funktion f stetig ist und sie dann Riemann-integrierbar ist, richtig?
Weitergemacht habe ich nun folgendermaßen:
[mm] \bruch{d}{dx}(F(x+a)-F(x-a))=f(x+a)-f(x-a)
[/mm]
Ist das richtig so?
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Die Grenze [mm]0[/mm] zur Aufspaltung ist willkürlich. Man hätte da genausogut [mm]-4{,}379[/mm] nehmen können.
Mein Ansatz kommt ohne eine explizite Stammfunktion aus:
Nach dem HDI gilt:
[mm]G(x) = \int_a^x~g(t)~\mathrm{d}t \ \ \Rightarrow \ \ G'(x) = g(x)[/mm]
Dazu braucht man nur die Stetigkeit von [mm]g[/mm] auf einem Intervall, das [mm]a[/mm] enthält. Die Beziehung gilt dann für alle [mm]x[/mm] des Intervalls.
Dein Ansatz geht natürlich ebenso, benötigt aber eine Stammfunktion von [mm]f[/mm]. Nur darfst du die hier nicht [mm]F[/mm] nennen, denn dieser Bezeichner ist schon vergeben. Kollision!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 06.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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