Ableitung der Normalverteilung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Dynek |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Tag,
ich beschäftige mich zurzeit mit der Normalverteilung, welche grob folgende Dichtefunktion hat:
f(x)= [mm] e^-{\bruch{x^2}{2}}
[/mm]
das x hat dabei folgende Gestalt:
x = [mm] \bruch{t-\mu}{\nu}
[/mm]
Wobei es sich beim [mm] \mu [/mm] um den Erwartungswert, beim [mm] \nu [/mm] um die Standardabweichung handelt, welche sich einfach als feste Zahlen gedacht werden können, also sind sie im Gegensatz zum t keine Variablen.
Die Ableitung sieht wie folgt aus:
f(x)= -x * [mm] e^-{\bruch{x^2}{2}}
[/mm]
Der hinzugekommene Faktor -x hat nun nach Wiki die Form:
-x = [mm] -(\bruch{t-\mu}{\nu^2})
[/mm]
Hier nachzulesen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung (Kapitel 2 und 3.2)
Meine Frage ist nun, warum das x bei der Ableitung nun so verändert aussieht. Wieso ist [mm] \nu [/mm] nun mit 2 zu potenzieren?
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Mo 07.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nenne g(x)= $ [mm] \bruch{x-\mu}{\nu} [/mm] $
dann hast du
[mm] f(x)=e^{-0.5*g^2(x)}
[/mm]
[mm] f'(x)=e^{-0.5*g^2(x)}*(-g(x)*g'(x))
[/mm]
so jetzt rechne g(x)*g'(x) aus, dann ist das Rätsel gelöst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Dynek |
Ok.
g(x)= [mm] \bruch{t-\mu}{\nu}
[/mm]
g'(x)= [mm] \bruch{1}{\nu}
[/mm]
g(x)*g'(x)= [mm] \bruch{t-\mu}{\nu^2}
[/mm]
Verstehe ich, danke.
Aber wie kommst du darauf das mit g(x) zu bezeichnen?
Wendet man so wie bei dir beschrieben doppelt die Kettenregeln zur Ableitung an?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Mo 07.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok.
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> g(x)=
??????????????????
> g'(x)= [mm]\bruch{1}{}[/mm]
?????????????????????????
>
> g(x)*g'(x)= [mm]\bruch{t-\mu}{\nu^2}[/mm]
Nein !!!
>
> Verstehe ich, danke.
Das glaube ich nicht !
>
> Aber wie kommst du darauf das mit g(x) zu bezeichnen?
Warum nicht ? Wie kommst Du darauf, Dich Dynek zu nennen ?
> Wendet man so wie bei dir beschrieben doppelt die
> Kettenregeln zur Ableitung an?
Es ist [mm] $g(x)^2= (\bruch{x-\mu}{\nu})^2 [/mm] $
Dann ist nach der Kettenregel
[mm] $\bruch{d}{dx}g(x)^2= [/mm] 2g(x)*g'(x) = [mm] 2\bruch{x-\mu}{\nu}* \bruch{1}{\nu} [/mm] $
FRED
>
> Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Mo 07.06.2010 | | Autor: | Dynek |
Dass bei meiner Antwort anfangs nichts stand war ein Fehler, den ich eine Minute später behoben habe.^^
Ok, das habe ich dann wohl missverstanden, danke für die Erläuterung.
Es kommt dafür also [mm] 2\bruch{x-\mu}{\nu}\cdot{} \bruch{1}{\nu} [/mm] = [mm] 2\bruch{x-\mu}{\nu^2} [/mm] raus.
Diese 2, die davor steht, kürzt sich dann letztendlich bei der gesamten Ableitung heraus, da es ja [mm] -\bruch{x^2}{2} [/mm] sind, oder?
Ohne diese Berücksichtigung gilt also:?
f(x)= [mm] e^-\bruch{x^2}{2}
[/mm]
f'(x)= [mm] -\bruch{2x}{2} [/mm] * [mm] e^-\bruch{x^2}{2}
[/mm]
2 durch 2 fällt also weg.
Ok, ich meine es nun verstanden zu haben, danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Mo 07.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ohne diese Berücksichtigung meint weiss ich nicht, wenn g(x)=x ist hast du recht.
Gruss leduart
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Hallo, dein Problem ist offenbar:
[mm] -0,5*2*g(x)*g'(x)=-g(x)*g'(x)=-\bruch{x-\mu}{\nu}*\bruch{1}{\nu}
[/mm]
jetzt etwas Bruchrechnung machen
Steffi
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