Ableitung Sinus- u. Kosinusf. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Di 25.09.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
Die Kosinusfunktion gibt das Steigungsverhalten in jedem Punkt (Tangentensteigung) der Sinusfunktion wieder: sin' x = cos x und und die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion: cos' x = -sin x. Warum ist dies so, wie kann man sich dies veranschaulichen? Anbei der Einheitskreis und die Funktionen geplottet, vielleicht hilft es weiter.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
grün: -sin x
blau: sin x
rot: cos x
Ableitung von f(x) = a sin x
[mm] $m_s(h) [/mm] = [mm] \bruch{a*sin(x_0+h)-a*sin x_0}{h} [/mm] = a* [mm] \bruch{sin(x_0+h)-sin x_0}{h}$
[/mm]
für den Grenzübergang h-> : $sin' [mm] x_0 [/mm] = cos [mm] x_0$ [/mm] 'Wie kommt man von $a* [mm] \bruch{sin(x_0+h)-sin x_0}{h}$ [/mm] auf $sin' [mm] x_0 [/mm] = cos [mm] x_0$?
[/mm]
Mit den Grenzwertsätzen folgt: [mm] $f'(x_0)= \limes_{h \to 0} \bruch{a*sin(x_0+h)- a*sin x_0}{h} [/mm] = a * cos [mm] x_0$ [/mm]
Wie kommt man darauf? Wo kommt der cos her?
Vielen Dank
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo itse,
du hast doch in deinen einleitenden Worten geschrieben, dass
[mm] $\left[\sin(x)\right]'=\cos(x)$ [/mm] ist.
Also ist [mm] $\left[\sin(x_0)\right]'=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sin(x_0+h)-\sin(x_0)}{h}=\cos(x_0)$
[/mm]
Und genau das wurde bei der Grenzbetrachtung von
[mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{a\cdot{}\sin(x_0+h)-a\cdot{}\sin(x_0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}a\cdot{}\frac{\sin(x_0+h)-\sin(x_0)}{h}=a\cdot{}\underbrace{\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sin(x_0+h)-\sin(x_0)}{h}}_{=\left[\sin(x_0)\right]'=\cos(x_0)}=a\cdot{}\cos(x_0)$ [/mm] benutzt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Di 25.09.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo schachuzipus!
Ich denke mal, dass hier aber gerade die Herleitung für [mm] $[\sin(x)]' [/mm] \ = \ [mm] \cos(x)$ [/mm] mittels Differentialquotienten gemeint bzw. unklar ist.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo itse!
Verwende hier für [mm] $\sin(x_0+h)$ [/mm] folgendes Additionstheorem:
[mm] $$\sin(\alpha+\beta) [/mm] \ = \ [mm] \sin(\alpha)*\cos(\beta)+\cos(\alpha)*\sin(\beta)$$
[/mm]
Anschließend mal geschickt ausklammern und [mm] $\cos(h)$ [/mm] ersetzen durch [mm] $1-2*\sin^2\left(\bruch{h}{2}\right)$ [/mm] .
Zudem sollte der Grenzwert [mm] $\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{\sin(z)}{z} [/mm] \ = \ 1$ bekannt sein ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:40 Di 25.09.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
Vielen Dank hab ich in der Zwischenzeit auch rausgefunden:
$a* [mm] \limes_{h \to \ 0}\bruch{sin(x0)cos(h)+cos(x0)sin(h)-sin(x0)}{h}$
[/mm]
wenn h->0 dann cos(h)=1 und h->0 dann sin(h)=h
$a* [mm] \limes_{h \to \ 0}\bruch{sin(x0)*1+cos(x0)*h-sin(x0)}{h}$
[/mm]
$a* [mm] \limes_{h \to \ 0}\bruch{cos(x0)*h}{h} [/mm] = a*cos(x0)$
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Hallo,
ich habe eine Frage zum Grenzwert
[mm] $\limes_{h \to 0}\bruch{sin(h)}{h} [/mm] $
Von der Anschauung her ist es klar, dass je kleiner h wird, desto ähnlicher sin(h) und h werden, der Bruch aus beiden also 1 ist.
Aber mit der Regel von L'Hospital hab ich Schwierigkeiten:
[mm] $\limes_{h \to 0}\bruch{sin(h)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h \to 0}\bruch{cos(h)}{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0} [/mm] = [mm] \infty [/mm] $ , ?
Genauso ist es von der Anschauung her klar, dass
[mm] $\limes_{h \to 0}\bruch{sin^{2}\left(\bruch{h}{2}\right)}{h} [/mm] $
Null ist, da der Zähler schneller gegen Null geht als der Nenner. Wiederum scheint es mit L'Hospital nicht zu gehen:
[mm] $\limes_{h \to 0}\bruch{sin^{2}\left(\bruch{h}{2}\right)}{h}= 2*\limes_{h \to 0}\bruch{sin\left(\bruch{h}{2}\right)*cos\left(\bruch{h}{2}\right)}{0} [/mm] = [mm] 2*\limes_{h \to 0}\bruch{cos^{2}\left(\bruch{h}{2}\right)-sin^{2}\left(\bruch{h}{2}\right)}{0} [/mm] = [mm] \limes_{h \to 0}\bruch{2*cos(h)}{} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0} [/mm] $
Entweder kommt [mm] \bruch{1}{0} [/mm] heraus, oder [mm] \bruch{0}{0}.
[/mm]
Habe ich mich verrechnet?
Vielen Dank im voraus,
LG, Martinius
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> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zum Grenzwert
>
> [mm]\limes_{h \to 0}\bruch{sin(h)}{h}[/mm]
>
> Von der Anschauung her ist es klar, dass je kleiner h wird,
> desto ähnlicher sin(h) und h werden, der Bruch aus beiden
> also 1 ist.
>
> Aber mit der Regel von L'Hospital hab ich Schwierigkeiten:
>
> [mm]\limes_{h \to 0}\bruch{sin(h)}{h} = \limes_{h \to 0}\bruch{cos(h)}{0} = \bruch{1}{0} = \infty[/mm]
> , ?
>
Hallo,
Du solltest Dir gründlich überlegen, was die Ableitung von h ist.
>
> Genauso ist es von der Anschauung her klar, dass
>
> [mm]\limes_{h \to 0}\bruch{sin^{2}\left(\bruch{h}{2}\right)}{h}[/mm]
>
> Null ist, da der Zähler schneller gegen Null geht als der
> Nenner. Wiederum scheint es mit L'Hospital nicht zu gehen:
>
> [mm]\limes_{h \to 0}\bruch{sin^{2}\left(\bruch{h}{2}\right)}{h}= 2*\limes_{h \to 0}\bruch{sin\left(\bruch{h}{2}\right)*cos\left(\bruch{h}{2}\right)}{0} = 2*\limes_{h \to 0}\bruch{cos^{2}\left(\bruch{h}{2}\right)-sin^{2}\left(\bruch{h}{2}\right)}{0} = \limes_{h \to 0}\bruch{2*cos(h)}{} = \bruch{1}{0}[/mm]
>
> Entweder kommt [mm]\bruch{1}{0}[/mm] heraus, oder [mm]\bruch{0}{0}.[/mm]
>
> Habe ich mich verrechnet?
Ja, hier gibt es mehrere Pannen.
1. die Ableitung von h.
2. "Oben" hast Du h/2 hinter dem Sinus, das mußt Du auch noch berücksichtigen.
3. sinxcosx [mm] \not= [/mm] cos^2x-sin^2x.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Di 25.09.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Angela!
> Ja, hier gibt es mehrere Pannen.
> 3. sinxcosx [mm]\not=[/mm] cos^2x-sin^2x.
Das nicht, da hast Du schon Recht. Aber genau in diesem Schritt wurde auch Herr de l'Hospital bemüht, d.h. abgeleitet - und damit passt das schon.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Martinius!
Auf Deinen größten Fehler mit der Ableitung von $h_$ hat Dich Angela bereits hingewiesen.
Hier habe ich auch mal eine geometrische Lösung für den Grenzwert [mm] $\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\sin(h)}{h}$ [/mm] gefunden ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Di 25.09.2007 | | Autor: | Martinius |
Ach ja, ich bin ein Holzkopf. h ist ja die Variable, also ist die Ableitung gleich 1.
Damit ist alles klar. Vielen Dank für den Hinweis.
LG, Martinius
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