Ableitung Sin < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:17 Mi 14.11.2012 | | Autor: | WSparrow |
| Aufgabe | Man beweise oder widerlege.
[mm] f(x)=-sin(x)-x^2 [/mm] hat ein Maximum in [-2,2] |
Hallo Leute,
also mir fehlt bei dieser Aufgabe der Ansatz.
Die Ableitung habe ich bereits gefunden: f'(x)= -cos(x)-2x
Das war auch kein Problem, jedoch muss ich das ja jetzt für die Extremstellen gleich 0 setzen, also
-cos(x)-2x=0
Leider weiß ich nur, dass man hier wohl mit der Umkehrfunktion arbeiten muss, bedeutet ich habe raus:
-cos(x)-2x=0 | :(-1)
cos(x)+2x=0 | -2x
cos(x)=-2x | arccos
x=arccos(2x)
das müsste soweit richtig sein oder? Leider weiß ich nicht wie ich jetzt weiter verfahren muss. Hoffe ihr könnt mir helfen :)
LG WSparrow
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo WSparrow, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Für diese Aufgabe gibt es sicher nicht viele Punkte.
Man kann sich aber trotzdem dabei viel zu viel Arbeit machen. 
> Man beweise oder widerlege.
> [mm]f(x)=-sin(x)-x^2[/mm] hat ein Maximum in [-2,2]
> Hallo Leute,
>
> also mir fehlt bei dieser Aufgabe der Ansatz.
> Die Ableitung habe ich bereits gefunden: f'(x)= -cos(x)-2x
Ja, ok.
> Das war auch kein Problem, jedoch muss ich das ja jetzt
> für die Extremstellen gleich 0 setzen, also
> -cos(x)-2x=0
>
> Leider weiß ich nur, dass man hier wohl mit der
> Umkehrfunktion arbeiten muss, bedeutet ich habe raus:
> -cos(x)-2x=0 | :(-1)
> cos(x)+2x=0 | -2x
> cos(x)=-2x | arccos
> x=arccos(2x)
Egal, wie Du es drehst und wendest, ist diese Gleichung nicht explizit analytisch auflösbar. Es gibt nur numerische Verfahren für Näherungen. Die sind hier aber sicher nicht gefragt.
> das müsste soweit richtig sein oder? Leider weiß ich
> nicht wie ich jetzt weiter verfahren muss. Hoffe ihr könnt
> mir helfen :)
Es gibt in der Tat ein Maximum im Intervall [-1;0]. Es reicht hier aber völlig, mit dem in der Aufgabe gegebenen Intervall zu arbeiten, das ist hier sogar leichter.
Tipp: Zwischenwertsatz!
Und noch ein Hinweis - es geht nicht darum, das Maximum zu bestimmen, sondern nur darum, seine Existenz nachzuweisen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 Mi 14.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Möglicherweise habe ich reverend falsch verstanden und er meint vielleicht das gleiche wie ich. Ich sags trotzdem:
Ist f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig, so besagt ein wohlbekannter und wichtiger Satz der Analysis:
f hat ein Max. und ein Min. auf [a,b].
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Mi 14.11.2012 | | Autor: | WSparrow |
folglich muss ich die gegebene Funktion auf Stetigkeit in x --> R überprüfen und weiß dann dass sich auf jeden Fall dort ein Maximum oder Minimum befinden muss?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> folglich muss ich die gegebene Funktion auf Stetigkeit in x
> --> R überprüfen und weiß dann dass sich auf jeden Fall
> dort ein Maximum oder Minimum befinden muss?
Ja.
Gemeint ist aber m.E. etwas anderes. Lies mal meine Mitteilung, die ich gerade noch schrieb, während Du diese Frage hier stelltest.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 Mi 14.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> Möglicherweise habe ich reverend falsch verstanden und er
> meint vielleicht das gleiche wie ich. Ich sags trotzdem:
>
> Ist f:[a,b] [mm]\to \IR[/mm] stetig, so besagt ein wohlbekannter und
> wichtiger Satz der Analysis:
>
> f hat ein Max. und ein Min. auf [a,b].
Das habe ich auch erst gedacht, aber ich denke, es geht hier um etwas anderes. Die Aufgabe ist nicht glücklich gestellt. Die Funktion hat im gegebenen Intervall ihr globales Maximum, wobei es für die Aufgabe vollauf genügt zu zeigen, dass sie dort ein lokales Maximum hat.
Dafür reicht die Anwendung des Zwischenwertsatzes auf die erste Ableitung, sofern er denn anwendbar ist.
Mit Deinem Hinweis hätte die überall stetige Funktion ja in jedem Intervall ein Maximum und ein Minimum. Das ist zwar alles andere als trivial, aber hier doch ein bisschen langweilig...
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Mi 14.11.2012 | | Autor: | WSparrow |
Nur haben wir in der Vorlesung auch mit der Stetigkeit gearbeitet um die Existenz von Extrema festzustellen. Den Zwischenwertsatz hab ich entweder verdrängt oder man hat ihn noch nicht erwähnt xD
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Mi 14.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo,
> Nur haben wir in der Vorlesung auch mit der Stetigkeit
> gearbeitet um die Existenz von Extrema festzustellen. Den
> Zwischenwertsatz hab ich entweder verdrängt oder man hat
> ihn noch nicht erwähnt xD
Dann schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Damit kannst Du nachweisen, dass f'(x) in [-2;2] eine Nullstelle hat.
Außerdem ist leicht zu zeigen, dass f''(x) überall <0 ist.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Mi 14.11.2012 | | Autor: | WSparrow |
Alles klar, dann werde ich das mal probieren :) ich bedanke mich schonmal bei euch :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Mi 14.11.2012 | | Autor: | WSparrow |
Nochmal eine kurze Frage dazu:
Sehe ich es richtig, dass ich beim Zwischenwertsatz nur nachweisen muss, dass f'(a) nicht f'(b) (Intervall [a,b]) und weiß dann automatisch, dass es Extrema gibt weil f'(x) ja jeden Wert des Intervalls annimmt also auch 0?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Nochmal eine kurze Frage dazu:
> Sehe ich es richtig, dass ich beim Zwischenwertsatz nur
> nachweisen muss, dass f'(a) nicht f'(b) (Intervall [a,b])
> und weiß dann automatisch, dass es Extrema gibt weil f'(x)
> ja jeden Wert des Intervalls annimmt also auch 0?
Ja, das siehst Du richtig.
Sofern [mm] $f'(a)*f'(b)\le{0}$ [/mm] ist, also eins größer und eins kleiner als Null oder mindestens eines =0, dann gibt es auch eine Nullstelle.
Die zweite Ableitung (die nicht zum ZWS gehört) braucht man nur noch, um zu zeigen, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt und nicht etwa um einen Sattelpunkt oder ein Minimum.
lg
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 Mi 14.11.2012 | | Autor: | WSparrow |
ah dann muss ich also lediglich für a und b die Ableitung ausrechnen, sie multiplizieren und gucken ob das kleiner oder gleich 0 ist und wenn das der Fall ist hab ich auf jeden Fall eine Nullstelle der Ableitung und damit eine Extremstelle der Funktion selbst ;)
Hatte nämlich bei Wikipedia in dem Artikel nur gefunden dass f'(a) nicht f'(b) sein darf und nicht das mit der Multiplikation.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Mi 14.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo,
> ah dann muss ich also lediglich für a und b die Ableitung
> ausrechnen, sie multiplizieren und gucken ob das kleiner
> oder gleich 0 ist und wenn das der Fall ist hab ich auf
> jeden Fall eine Nullstelle der Ableitung und damit eine
> Extremstelle der Funktion selbst ;)
> Hatte nämlich bei Wikipedia in dem Artikel nur gefunden
> dass f'(a) nicht f'(b) sein darf und nicht das mit der
> Multiplikation.
Das mit der Multiplikation ist doch auch nur eine kurze Formulierung, um nicht jeden Fall einzeln aufzudröseln.
Bei Deiner Aufgabe reicht es doch aus, dass f'(-2)>0 und f'(2)<0 ist, damit hast Du doch die nötigen Voraussetzungen (zzgl. der Stetigkeit, natürlich).
lg
rev
|
|
|
|
