Ableitung (Quotientenregel) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Mi 25.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Hallo,
ich habe eigentlich zwei Fragen: Die erste bezieht sich auf den Beweis des Satzes (bruch{1}{g})'(x)=wie bekannt.
Jedenfalls kommt man zu der Stelle:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\bruch{1}{h}(g(x)-g(x+h)}{g(x+h)*g(x)}=\bruch{-g'(x)}{(g(x))^2}
[/mm]
Im Zähler und Nenner ist eigentlich alles verständlich, nur warum fällt denn dieses 1/h weg?
Die nächste Frage bezieht sich auf die Ableitung von ln.
ln := [mm] exp^{-1}=\bruch{1}{exp}.
[/mm]
Nun wendet man die Ableitungsregel oben an, und erhält dann was genau?
Ich komme dann nämlich auf: [mm] \bruch{-exp}{exp^2}, [/mm] da die Ableitung von exp ja wieder exp ist. Wir haben exp(x) als Reihe definiert, wie komme ich aber auf die bisherige Vorstellung, dass die Exponentialfunktion x -> [mm] a^x [/mm] ist?
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Hallo yangwar1,
> Hallo,
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> ich habe eigentlich zwei Fragen: Die erste bezieht sich auf
> den Beweis des Satzes (bruch{f}{g})'(x)=wie bekannt.
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> Jedenfalls kommt man zu der Stelle:
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\bruch{1}{h}(g(x)-g(x+h)}{g(x+h)*g(x)}=\bruch{-g'(x)}{(g(x))^2}[/mm]
Wie kommt das zustande?
Es ist doch zu betrachten:
[mm]\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot{}\left[\left(\frac{f}{g}\right)(x+h)-\left(\frac{f}{g}\right)(x)\right]=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot{}\left[\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}\right][/mm]
Nun gleichnamig machen:
[mm]=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot{}\left[\frac{f(x+h)\cdot{}g(x)-f(x)\cdot{}g(x+h)}{g(x)\cdot{}g(x+h)}\right][/mm]
Nun ist der Trick, eine "nahrhafte Null" zu addieren:
[mm]=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot{}\left[\frac{\left(f(x+h)\red{-f(x)+f(x)}\right)\cdot{}g(x)-f(x)\cdot{}g(x+h)}{g(x)\cdot{}g(x+h)}\right][/mm]
Da habe ich nun nur eine 0 (in rot) addiert, also nix verändert.
Nun vereinfache mal den Bruch und nutze, dass sowohl [mm]f[/mm] als auch [mm]g[/mm] diffbar sind ...
>
> Im Zähler und Nenner ist eigentlich alles verständlich,
> nur warum fällt denn dieses 1/h weg?
>
> Die nächste Frage bezieht sich auf die Ableitung von ln.
> ln := [mm]exp^{-1}=\bruch{1}{exp}.[/mm]
Nein nein nein, [mm]\exp^{-1}[/mm] bezeichnet die Umkehrfunktion, nicht die Potenz!
Besser schreibt man [mm]\ln(x)=(\exp(x))^{invers}[/mm]
> Nun wendet man die Ableitungsregel oben an, und erhält
> dann was genau?
Hattet ihr die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion?
Damit geht es fix!
Ein Blick auf wikipedia hilft sicher weiter ... ("Umkehrregel")
Dort ist sogar das Bsp. mit [mm]f(x)=\exp(x)[/mm] und [mm]f^{invers}(x)=\ln(x)[/mm] vorgerechnet ...
> Ich komme dann nämlich auf: [mm]\bruch{-exp}{exp^2},[/mm] da die
> Ableitung von exp ja wieder exp ist. Wir haben exp(x) als
> Reihe definiert, wie komme ich aber auf die bisherige
> Vorstellung, dass die Exponentialfunktion x -> [mm]a^x[/mm] ist?
Non comprende ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:03 Mi 25.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Mir ist ein fehler in der Eingabe unterlaufen. Ich habe es korrigiert. Es muss
anstatt f/g 1/g heißen.
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> Hallo,
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> ich habe eigentlich zwei Fragen: Die erste bezieht sich auf
> den Beweis des Satzes (bruch{1}{g})'(x)=wie bekannt.
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> Jedenfalls kommt man zu der Stelle:
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\bruch{1}{h}(g(x)-g(x+h)}{g(x+h)*g(x)}=\bruch{-g'(x)}{(g(x))^2}[/mm]
>
> Im Zähler und Nenner ist eigentlich alles verständlich,
> nur warum fällt denn dieses 1/h weg?
Hallo,
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\bruch{1}{h}(g(x)-g(x+h)}{g(x+h)*g(x)}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{-\red{\bruch{g(x+h)-g(x)}{h}}}{g(x+h)*g(x)},
[/mm]
und der limes vom Roten ist doch gerade die Ableitung von g an der Stelle x.
LG Angela
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