Ableitung E-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 So 25.01.2009 | | Autor: | Fatih17 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(X)=0,6-0,78*e^{-037x}
[/mm]
Berechnen Sie die Nullstelle [mm] x_{0} [/mm] von f und zeigen Sie, dass f keine Extrem-und Wendestellen hat.
[Zur Kontrolle: [mm] x_{0}=0,71] [/mm] |
Guten Tag,
wir haben letztens einen Zettel bekommen von der Abiturprüfung 2007, da ich ja bald die Vorabiturklausuren schreiben muss und noch ordentlich gepaukt werden sollte. Jedoch habe ich schon bei der 1.Aufgabe so meine Schwierigkeiten^^
Also:
bei dieser Gleichung, weiß ich ja, dass [mm] e^{-037x} [/mm] nie die X-Achse schneiden wird, weil die E-Funktionen das generell nicht tun.
Damit fällt dieser Teil des Therms ersteinmal weg.
Übrig bleibt dann:
0=0,6-0,78
Das Problem:
Da ist gar keine Variable. Also komme ich auch nicht auf das Ergebnis :S
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fatih!
Deine Argumentation gilt nur, wenn es sich bei dem zu untersuchenden Term um ein Produkt handelt. Dies gilt hier nicht. Daher formen wir mal um:
[mm] $$0.6-0.78*e^{-0.37*x} [/mm] \ = \ 0$$
$$0.6 \ = \ [mm] 0.78*e^{-0.37*x}$$
[/mm]
Nun durch 0,78 teilen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 25.01.2009 | | Autor: | Fatih17 |
Okay, danke ersteinmal
Jedoch wenn ich das durch 0,78 teile bringt mir das doch garnichts mir fehlt doch eine Variable und die ist doch in dem E-Teil !?
Ich habe dann das hier raus:
[mm] 0,76=e^{-0,37x}
[/mm]
und dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fatih!
Wende nun auf beide Seiten der gleichung die Umkehrfunktion der e-Funktion an: den natürlichen  Logarithmus [mm] $\ln(...)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 So 25.01.2009 | | Autor: | Fatih17 |
Okay also muss ich doch dann den ln(0,76) ausrechnen oder?
Dann habe ich -0,27 raus. Aber was sagt mir das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fatih!
Deine Geichung lautet also nun:
$$-0.37*x \ = \ [mm] \ln\left(\bruch{0.6}{0.78}\right) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ -0.262$$
Was musst Du nun machen, um $x \ = \ ...$ zu erhalten?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 So 25.01.2009 | | Autor: | Fatih17 |
Ahhhh,
jetzt hat es gefunkt ^^
Natürlich durch -0,37 teilen.
Also krieg ich sozusagen das "e" weg, indem ich einfach den ln von 0,78 berechne?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 So 25.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ahhhh,
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> jetzt hat es gefunkt ^^
>
> Natürlich durch -0,37 teilen.
>
> Also krieg ich sozusagen das "e" weg, indem ich einfach den
> ln von 0,78 berechne?
Genau, denn e und der Ln sind Umkehrfunktionen, also:
[mm] e^{\ln(\Box)}=\Box [/mm] und [mm] \ln\left(e^{\Box}\right)=\Box
[/mm]
(Vergleiche das mal mit [mm] \wurzel{x²}=x [/mm] und [mm] \left(\wurzel{x}\right)^{2}=x [/mm] )
Bei Gleichungen musst du dann aber auf beiden Seiten den LN anwenden.
Aus [mm] b=e^{x} [/mm] folgt
[mm] \ln(b)=\ln(e^{x})
[/mm]
[mm] \gdw \ln(b)=x
[/mm]
Marius
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Du kannst doch nicht einfach den halben Term weglassen!
Setz das ganze mit 0 gleich, forme um (Tipp: [mm] ln [/mm] ist eine Umkehrfunktion...) und dann hast du's
EDIT: Da war einer schneller :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 So 25.01.2009 | | Autor: | Fatih17 |
So hatten wir das aber im Unterricht meistens gemacht. Und das Ergebnis stimmte dabei auch. So hatten wir das z.B. hier so gemacht:
[mm] (x-2)*e^{x}=0
[/mm]
x-2=0 da [mm] e^{x} \not=0
[/mm]
x=2
somit N(2/0)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fatih!
Siehe oben; da hatte ich das bereits aufgeführt, warum das nicht geht!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 So 25.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> So hatten wir das aber im Unterricht meistens gemacht. Und
> das Ergebnis stimmte dabei auch. So hatten wir das z.B.
> hier so gemacht:
>
> [mm](x-2)*e^{x}=0[/mm]
>
> x-2=0 da [mm]e^{x} \not=0[/mm]
>
> x=2
>
> somit N(2/0)
Hier hast du ja auch ein Produkt, das Null werden soll, und da genügt es, wenn einer der Faktoren Null wird. Daher kann man das hier auch so machen.
Aber in deiner Funktion $ [mm] f(X)=0,6-0,78\cdot{}e^{-0,37x} [/mm] $ hast du eben eine Summe, und daher musst du das "zu Fuß" ausrechnen.
Hast du die Passage mit dem "Zeige, dass es keine Extrema und Wendestellen von f geben kann" inzwischen gelöst?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 So 25.01.2009 | | Autor: | Fatih17 |
Nein so weit bin ich leider noch nicht. Ich versuche das zunächst zu verstehen und das fällt mir momentan so schwer, weil wir dann anscheinend bis jetzt nur mit Produkten gerechnet haben und nicht mit Summen. Das ist ist für mich momentan sehr schwer zu akzeptieren, weil wir das bis jetzt immer so gemacht haben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 So 25.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Nein so weit bin ich leider noch nicht. Ich versuche das
> zunächst zu verstehen und das fällt mir momentan so schwer,
> weil wir dann anscheinend bis jetzt nur mit Produkten
> gerechnet haben und nicht mit Summen. Das ist ist für mich
> momentan sehr schwer zu akzeptieren, weil wir das bis jetzt
> immer so gemacht haben.
Dann musst du dich davon hier halt lösen. Hier geht das eben leider nicht so.
Aber zu der Frage mit den Extrema/Wendestellen.
Bestimme mal f'(x) und f''(x) und zeige, dass diese keine Nullstellen haben können, und damit schon die notwendige Bedingung für Extrema und Wendepunkte nicht gegeben ist.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 So 25.01.2009 | | Autor: | Fatih17 |
Okay kommen wir zu den Extrem-und Wendestellen:
Also für die Bestimmung von Extrempunkten benötigt man die notwendige und hinreichende Bedingung. Für die wiederum die Ableitung der Funktion.
Ableitung:
f(x)= [mm] 0,6-0,78*e^{-0,37x}
[/mm]
[mm] f'(x)=(-0,78*-0,37)*e^{-0,37x}
[/mm]
[mm] =0,2886*e^{-0,37x}
[/mm]
[mm] f''(x)=(0,2886*(-0,37))*e^{-0,37x}
[/mm]
[mm] =-0,11*e^{-0,37x}
[/mm]
[mm] f'''(x)=(-0,11*(-0,37))*e^{-0,37x}
[/mm]
[mm] =0,04*e^{-0,37x}
[/mm]
Wär das so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fatih!
Wenn Du noch einige Klammern setzt, stimmt alles.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 So 25.01.2009 | | Autor: | Fatih17 |
Super das ist doch mal schön zu hören ^^
Eine kleine Frage hätte ich da noch:
Obwohl die Funktion eine Summe ist, kann man hier nicht die Summenregel verwenden, warum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 So 25.01.2009 | | Autor: | Blech |
? Tust Du doch:
$ [mm] \underbrace{0.6}_{\text{1. Summand, konstant}} [/mm] + [mm] \underbrace{\overbrace{\overbrace{(- 0.78)}^{\text{1. Faktor, konst.}}\cdot\overbrace{e^{-0.37x}}^{\text{2. Faktor, Funktion von }x}}^{\text{Produkt}}}_{\text{2. Summand, Funktion von }x} [/mm] $
Bei der Ableitung der Summe fällt der konstante 1. Summand weg, und Du leitest den 2. nach x ab. Die Ableitung führst Du durch, indem Du bei dem Produkt den konstanten ersten Faktor stehen läßt und den von x abhängigen 2. ableitest.
Genau das hast Du ja auch gemacht. =)
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 So 25.01.2009 | | Autor: | Fatih17 |
Oh man ich habe da einiges vertauscht denke ich. Ich dachte grade an die Produktregel gedacht. Ich glaube ich habe heute zu viel gelernt irgendwie^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 So 25.01.2009 | | Autor: | Fatih17 |
So da wir ja jetzt die Ableitungen haben, müssen wir die notwendige Bedingung durchführen (f'(x)=0)
[mm] 0,2886*e^{-0,37x}=0
[/mm]
[mm] \gdw 0,2886=-e^{-0,37x} [/mm] | *(-1)
[mm] \gdw -0,2886=e^{-0,37x}
[/mm]
Und da ln(-0,2886) nicht möglich ist, können wie damit die notwendige Bedingung nicht erfüllen. Somit haben wir keinen möglichen Extrempunkt und die hinreichende Bedingung kann somit auch nicht erfüllt werden.
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Hallo,
> So da wir ja jetzt die Ableitungen haben, müssen wir die
> notwendige Bedingung durchführen (f'(x)=0)
>
> [mm]0,2886\red{*}e^{-0,37x}=0[/mm]
> [mm]\gdw 0,2886=\blue{-}e^{-0,37x}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Vor dem e steht ein Faktor, da steht ein "[mm]*[/mm]" dazwischen.
Wenn du so umformen wolltest wie du oben, steht dann da:
[mm]0,2886\red{*}e^{-0,37x}\blue{-}e^{-0,37x}=\blue{-}e^{-0,37x}[/mm], und das hilft nicht wirklich weiter.
So wird das also nix. Du musst nacheinander überprüfen, für welches x 0,2886 (irgendwie ja gar nicht^^) und wann [mm] e^{-0,37x} [/mm] Null wird, denn ein Produkt ist Null, wenn eines seiner Faktoren Null ist.
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 So 25.01.2009 | | Autor: | Fatih17 |
Ja stimmt du hast vollkommen Recht.
Ich weiß ja dass die Gleichung nie erfüllt ist, wie schreibe ich das denn Mathematisch?
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hmm... so schwer kann das nicht sein^^
[mm] 0,2886\cdot{}e^{-0,37x}=0 \gdw [/mm] 0,2886=0 oder [mm]e^{-0,37x}=0[/mm],
Da [mm] 0,2886\not=0 [/mm] und [mm] e^{-0,37x}\not=0 [/mm] für jedes beliebige x [mm] \in \IR, [/mm] gibt es kein x [mm] \in \IR [/mm] das der Gleichung genügt (und damit gibt es keine Nullstellen). So sollte es auf jeden Fall nicht mathematisch falsch sein, es geht aber bestimmt noch einfacher.
lg Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 So 25.01.2009 | | Autor: | Fatih17 |
Okay vielen dank, hast mir sehr geholfen
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