Ableitung 2^(x^2) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Sa 01.10.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo!
Ich habe eine Frage:
Wie leitet man f(x) = [mm] 2^{x^{2}} [/mm] ab?
Also [mm] 2^{x*x}
[/mm]
Ich forme das mal nach Logarhitmusgesetzen um:
f(x) = [mm] 2^{log(2) x}
[/mm]
Nach der Kettenregel lautet es:
f'(x) = log(2) * [mm] 2^{log(2) x}
[/mm]
bzw. f'(x) = log(2) * [mm] 2^{x^{2}}
[/mm]
Nur laut Lösung müsste es
f'(x) 2*log(2) * [mm] 2^{x^{2}}
[/mm]
Wo kommt nun diese zwei her? Man nimmt doch dann da die Basis - aber warum????
Grüße Johann
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Hi, Phoney,
Deine "Lösung" kann nicht stimmen: Da fehlt ein x!
Bedenke, dass 2 = [mm] e^{ln(2)}
[/mm]
und daher
f(x) = [mm] 2^{x^{2}} [/mm] = [mm] e^{ln(2)*x^{2}}
[/mm]
f'(x) = [mm] e^{ln(2)*x^{2}}*2*ln(2)*x [/mm] = [mm] 2*ln(2)*x*2^{x^{2}} [/mm]
(Kettenregel!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Sa 01.10.2005 | | Autor: | Phoney |
> Hi, Phoney,
Hallo Zwerglein, zunächst einmal danke für die Erklärung. Das habe ich auf jedenfall verstanden.
> Deine "Lösung" kann nicht stimmen: Da fehlt ein x!
>
> Bedenke, dass 2 = [mm]e^{ln(2)}[/mm]
>
Das hier kannte ich vorher nicht und nun frage ich mich, nach welchem Logarhitmengesetz kann man zeigen, dass
a = [mm] e^{ln(a)} [/mm] ist?
An einigen Beispielen habe ich es schon gesehen, dass es so ist. Aber ich verwende eigentlich nur ganz ungerne Sachen, wenn ich nicht weiß wo sie herkommen.
Kann mir da jemand kurz mal zeigen, wo das herkommt? Ich denke nicht, dass es eine sehr umfassende Antwort von nöten ist, wenn man die Logarhitmengesetze als bekannt betrachtet.
mit freundlichen Grüßen Johann.
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Hallo!
> > Bedenke, dass 2 = [mm]e^{ln(2)}[/mm]
> >
>
> Das hier kannte ich vorher nicht und nun frage ich mich,
> nach welchem Logarhitmengesetz kann man zeigen, dass
> a = [mm]e^{ln(a)}[/mm] ist?
Also, es gilt:
[mm] a^x=e^{x\ln{a}}
[/mm]
ich glaube, so ist einfach die Exponentialfunktion zur Basis a definiert. (Jedenfalls steht in meinem Mathebuch: "Definition (Exponentialfunktion zur Basis a). Für a>0 ist die Funktion [mm] exp_a(x):=exp(x \ln{a})." [/mm] - aber das kommt ja aufs Selbe raus.
> An einigen Beispielen habe ich es schon gesehen, dass es so
> ist. Aber ich verwende eigentlich nur ganz ungerne Sachen,
> wenn ich nicht weiß wo sie herkommen.
Ich in der Regel auch nicht. Aber daran muss man sich glaube ich einfach gewöhnen, denn Definitionen kann man ja nicht herleiten, sonst hießen sie nicht Definitionen. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hi, Phoney,
die Funktion mit der Gleichung y=ln(x) ist als Umkehrfunktion zur Funktion mit der Gleichung [mm] y=e^{x} [/mm] definiert.
Daher gilt sozusagen "automatisch":
[mm] ln(e^{x}) [/mm] = x (für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
und auch
[mm] e^{ln(x)} [/mm] = x (diesmal aber nur für x [mm] \in \IR^{+}.)
[/mm]
Um Dir diese Zusammenhänge plausibel zu machen, betrachte ein weiteres "Paar" von Funktion und Umkehrfunktion:
[mm] y=\wurzel{x} [/mm] (mit x [mm] \ge [/mm] 0)
ist Umkehrfunktion zu
[mm] y=x^{2}
[/mm]
Daher gilt:
[mm] (\wurzel{x})^{2} [/mm] = x (für x [mm] \ge [/mm] 0)
und auch
[mm] \wurzel{x^{2}} [/mm] = x (ebenfalls für x [mm] \ge [/mm] 0)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Sa 01.10.2005 | | Autor: | Phoney |
Hallo Zwerglein, Bastiane.
Schönen Dank an euch beide. Diese Antworten ergänzen sich hervorangend miteinander. Genau so etwas wollte ich wissen.
Grüße Johann
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