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Forum "Differenzialrechnung" - Ableitung -1/x² über H-Methode

Ableitung -1/x² über H-Methode < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

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Ableitung -1/x² über H-Methode: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	18:56 Mo 05.01.2009
Autor:	Arnie09

Aufgabe

 Durch [mm] f_{t}(x)=\bruch{16}{x-t} [/mm] ist für jedes t [mm] \in \IR, [/mm] t > 0 eine Funktion [mm] f_{t} [/mm] gegeben. Ihr Graph sei [mm] K_{t}.
 [/mm]

Ermitteln Sie die Koordinaten des Maximumpunktes [mm] E_{max, t} [/mm] von [mm] K_{t}. [/mm] 

Hallo,
ich bin momentan bei den Ableitungen der Funktion und brauchte dabei die Ableitung der Funktion [mm] -\bruch{1}{x²}, [/mm] die ich allerdings nicht in meiner Formelsammlung finden konnte. Ich habe versucht, sie zu berechnen, bin mir aber nicht sicher, ob dies so stimmt. Könntet ihr euch die Ableitung einmal ansehen?

[mm] f_{t}(x)=\bruch{16}{x-t} [/mm]
[mm] =16*\bruch{1}{x-t} [/mm]
[mm] f'_{t}(x)=16*(-\bruch{1}{(x-t)²}*1)=-16\bruch{1}{(x-t)²} [/mm]
[mm] \bruch{1}{(x-t)²} [/mm] wollte ich über die Kettenregel lösen...

[mm] -\bruch{1}{x²} [/mm]
Differenzialquotient: [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} [/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{-\bruch{1}{(x_{0}+h)²}+\bruch{1}{x_{0}²}}{h} [/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{-1}{x_{0}²+2x_{0}h+h²}+\bruch{1}{x_{0}²}}{h} [/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{-x_{0}²*1+1(x_{0}²+2*x_{0}h+h²)}{(x_{0}²+2x_{0}h+h²)*x_{0}²}}{h} [/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{-x_{0}²+x_{0}²+2x_{0}h+h²}{x_{0}^{4}+2*x_{0}^{3}h+h²x_{0}²}}{h} [/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{2x_{0}h+h²}{x_{0}^{4}+2*x_{0}^{3}h+h²x_{0}²}*\bruch{1}{h} [/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{2x_{0}h+h²}{x_{0}^{4}h+2*x_{0}^{3}h²+h^{3}x_{0}²} [/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{[s]h[/s](2x_{0}+h)}{[s]h[/s](x_{0}^{4}+2*x_{0}^{3}h+h²x_{0}²)} [/mm]
[mm] =\bruch{2x_{0}}{x_{0}^{4}} [/mm]
[mm] =\bruch{2}{x_{0}^{3}} [/mm]

Auf jeden Fall aber vielen Dank im voraus :-)

!
Liebe Grüße,
Arnie

Bezug

Ableitung -1/x² über H-Methode: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	19:05 Mo 05.01.2009
Autor:	Sigrid

Hallo Arnie09,

> Durch [mm]f_{t}(x)=\bruch{16}{x-t}[/mm] ist für jedes t [mm]\in \IR,[/mm] t >
> 0 eine Funktion [mm]f_{t}[/mm] gegeben. Ihr Graph sei [mm]K_{t}.[/mm]
>  Ermitteln Sie die Koordinaten des Maximumpunktes [mm]E_{max, t}[/mm]
> von [mm]K_{t}.[/mm]
>  Hallo,
>  ich bin momentan bei den Ableitungen der Funktion und
> brauchte dabei die Ableitung der Funktion [mm]-\bruch{1}{x²},[/mm]
> die ich allerdings nicht in meiner Formelsammlung finden
> konnte. Ich habe versucht, sie zu berechnen, bin mir aber
> nicht sicher, ob dies so stimmt. Könntet ihr euch die
> Ableitung einmal ansehen?
>
> [mm]f_{t}(x)=\bruch{16}{x-t}[/mm]
>  [mm]=16*\bruch{1}{x-t}[/mm]
>  [mm]f'_{t}(x)=16*(-\bruch{1}{(x-t)²}*1)=-16\bruch{1}{(x-t)²}[/mm]

>  [mm]\bruch{1}{(x-t)²}[/mm] wollte ich über die Kettenregel
> lösen...
>
> [mm]-\bruch{1}{x²}[/mm]
>  Differenzialquotient: [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{-\bruch{1}{(x_{0}+h)²}+\bruch{1}{x_{0}²}}{h}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{-1}{x_{0}²+2x_{0}h+h²}+\bruch{1}{x_{0}²}}{h}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{-x_{0}²*1+1(x_{0}²+2*x_{0}h+h²)}{(x_{0}²+2x_{0}h+h²)*x_{0}²}}{h}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{\bruch{-x_{0}²+x_{0}²+2x_{0}h+h²}{x_{0}^{4}+2*x_{0}^{3}h+h²x_{0}²}}{h}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{2x_{0}h+h²}{x_{0}^{4}+2*x_{0}^{3}h+h²x_{0}²}*\bruch{1}{h}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{2x_{0}h+h²}{x_{0}^{4}h+2*x_{0}^{3}h²+h^{3}x_{0}²}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{[s]h[/s](2x_{0}+h)}{[s]h[/s](x_{0}^{4}+2*x_{0}^{3}h+h²x_{0}²)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2x_{0}}{x_{0}^{4}}[/mm]
>  [mm]=\bruch{2}{x_{0}^{3}}[/mm]

Du hast alles richtig gemacht.

Du kannst aber auch die Potenzregel anwenden:

$ f(x) = -\ [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] = -\ [mm] x^{-2} [/mm] $

$ f'(x) = -1 [mm] \cdot [/mm] (-2)\ [mm] x^{-3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{x^3} [/mm] $

Gruß
Sigrid
>
> Auf jeden Fall aber vielen Dank im voraus :-)

!
> Liebe Grüße,
> Arnie