Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Di 11.08.2009 | | Autor: | husbert |
| Aufgabe | Berechnen Sie in (a) und (b) die Ableitung und drücken Sie sie möglichst einfach aus.
(a)f(x)= [mm] \bruch{1}{2a^2*(a^2-x^2)}+\bruch{1}{2a^3}*arctan(x/a)
[/mm]
(b) [mm] f(x)=(sin(x))^x [/mm] (für 0 < x <π , damit sin(x) > 0 ist!) |
Hallo,
einige Verständnisprobleme:
Lösung a:
[mm] (a)f'(x)=\bruch{1}{2a^2*(a^2-x^2)}+\bruch{\bruch{1}{a}}{2a^3(1+\bruch{x^2}{a^2})}
[/mm]
der weitere Weg ist klar.
Das Problem bei mir ist wie kommt man auf die [mm] \bruch{1}{a}?
[/mm]
Lösung b:
[mm] f(x)=(sin(x))^x =e^{x*ln(sin(x))}
[/mm]
[mm] f'(x)=e^{x*ln(sin(x))}*(ln(sin(x)+x*\bruch{cos(x)}{sin(x)})=(sin(x))^x*(ln(sin(x)+x*cot(x))
[/mm]
Hier verstehe ich speziell [mm] (ln(sin(x)+x*\bruch{cos(x)}{sin(x)}) [/mm] nicht. Wie kommt man auf cos(x)/sin(x) ?
Ich weiß das ln(x) die allgemeine Ableitung von 1/x ist, das erklärt mir auch sin(x) aber warum das cos da steht??
gruß bert
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Hallo husbert,
> Berechnen Sie in (a) und (b) die Ableitung und drücken Sie
> sie möglichst einfach aus.
> (a)f(x)=
> [mm]\bruch{1}{2a^2*(a^2-x^2)}+\bruch{1}{2a^3}*arctan(x/a)[/mm]
> (b) [mm]f(x)=(sin(x))^x[/mm] (für 0 < x <π , damit sin(x) > 0
> ist!)
> Hallo,
>
> einige Verständnisprobleme:
>
> Lösung a:
>
> [mm](a)f'(x)=\bruch{1}{2a^2*(a^2-x^2)}+\bruch{\bruch{1}{a}}{2a^3(1+\bruch{x^2}{a^2})}[/mm]
>
> der weitere Weg ist klar.
> Das Problem bei mir ist wie kommt man auf die
> [mm]\bruch{1}{a}?[/mm]
[mm]\bruch{1}{a}[/mm] ist die Ableitung von [mm]\bruch{x}{a}[/mm]
Konkret ist es die innere Ableitung von [mm]\operatorname{arctan}\left(\bruch{x}{a}\right)[/mm]
> Lösung b:
> [mm]f(x)=(sin(x))^x =e^{x*ln(sin(x))}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=e^{x*ln(sin(x))}*(ln(sin(x)+x*\bruch{cos(x)}{sin(x)})=(sin(x))^x*(ln(sin(x)+x*cot(x))[/mm]
>
> Hier verstehe ich speziell
> [mm](ln(sin(x)+x*\bruch{cos(x)}{sin(x)})[/mm] nicht. Wie kommt man
> auf cos(x)/sin(x) ?
Nun nach der Kettenregel gilt ja innere Ableitung mal äußere Ableitung.
Die äußere Ableitung von [mm]\ln\left( \ \sin\left(x\right) \ \right)[/mm] ist [mm]\bruch{1}{\sin\left(x\right)}[/mm]
Die innere Ableitung von [mm]\ln\left( \ \sin\left(x\right) \ \right)[/mm] ist [mm]\sin\left(x\right)' = \cos\left(x\right)[/mm]
Somit ergibt sich [mm]\bruch{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}[/mm]
> Ich weiß das ln(x) die allgemeine Ableitung von 1/x ist,
> das erklärt mir auch sin(x) aber warum das cos da steht??
>
>
> gruß bert
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Di 11.08.2009 | | Autor: | husbert |
Danke MathePower,
jetzt wo du es sagst, sieht es so einfach aus 
gruß bert!
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