Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Do 25.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch. Ich habe eine Funktion
[mm] $f:\IR^3\longrightarrow\IR^3$ [/mm] mit [mm] $x\longmapsto [/mm] f(x)$
Die 1. Ableitung dieser Funktion ist die Jacobi-Matrix [mm] $J_f\in\IR^{3\times 3}$, [/mm] daher lässt sich die 1. Ableitung als Abbildung auffassen durch
[mm] $f':\IR^3\longrightarrow\IR^{3\times 3}$ [/mm] mit [mm] $x\longmapsto J_f(x)$
[/mm]
Nun benötige ich allerdings die 2. Ableitung von $f$. Wie bestimme ich diese nochmal und wie lässt sie sich als Abbildung auffassen?
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:45 Fr 26.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Sind E,F Banachräume, [mm] U\subset [/mm] E offen und [mm]x\in U[/mm], so heißt [mm]f:E\to F[/mm] in x differenzierbar, wenn es eine stetige lineare Abbildung [mm]A_x:E\to F[/mm] gibt mit [mm] $$f(x+h)=f(x)+A_x(h)+o(\|h\|)$$ [/mm] In diesem Falle ist [mm] A_x [/mm] eindeutig bestimmt und falls [mm] E=\IR^m, F=\IR^n, [/mm] so ist die Darstellungsmatrix von [mm] A_x [/mm] bezüglich der Standartbasen genau die Jacobimatrix im Punkt x. Ist f für jedes [mm]x\in U[/mm] differenzierbar, so heißt f differenzierbar und die Abbildung [mm]df: U\ni x\mapsto A_x\in\mathcal{L}(E,F)[/mm] heißt Ableitung von f.
Dabei bezeichnet [mm] $\mathcal{L}(E,F)$ [/mm] den Raum der (stetigen) linearen Abbildungen von E nach F und ist ein Banachraum, d.h. obige Definition der Differenzierbarkeit lässt sich auch auf df anwenden: ist auch df differenzierbar, so ist dies die zweite Ableitung von f, d.h. [mm] $$f''=d(df):U\to\mathcal{L}(E,\mathcal{L}(E,F))$$ [/mm] Im Klartext: Die zweite Ableitung ordnet Punkten aus U eine Lineare Abbildung von E in den Raum der linearen Abbildungen von E nach F zu!
Man kann nun [mm] $\mathcal{L}(E,\mathcal{L}(E,F))$ [/mm] kanonisch mit [mm]\mathcal{L}(E\times E, F)[/mm] identifizieren durch die Abbildung [mm] $$\Phi:\mathcal{L}(E,\mathcal{L}(E,F))\to \mathcal{L}(E\times E,F)),\qquad (\Phi(\alpha))(x,y):=(\alpha(x))(y)$$ [/mm] und damit wird [mm] $$f'':E\to\mathcal{L}(E\times [/mm] E,F)$$ eine Abbildung, die jedem Punkt aus U eine bilineare Abbildung von E nach F zuordnet. Wenn man das so weiter macht erhält man, dass die n-te Ableitung von f, sofern existent, jedem Punkt [mm] x\in U\subset [/mm] E eine n-multilineare Abbildung [mm] $f^{(n)}(x)\in\mathcal{L}(E^n,F)$ [/mm] zuordnet. D.h. im Klartext: Die n-te Ableitung in einem Punkt antwortet auf ein Tupel von n Vektoren aus E durch einen Vektor aus F.
Höhere Ableitungen lassen sich im Allgemeinen (d.h. dim F>1 oder n>2) nicht mehr (in natürlicher Weise) durch Matrizen darstellen, sondern sind dann Tensoren höherer Ordnung, die bezüglich der Standartbasen als Koordinatenfunktion die partiellen Ableitungen höherer Ordnung haben... das ist also das, was du benutzen musst.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Ich danke Dir einstweilen. Mal schauen, ob mir das weiterhilft
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