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Forum "Differenzialrechnung" - Ableitung

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Ableitung: Korrektur

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	19:45 Do 22.01.2009
Autor:	xPae

Hi habe ein paar Fragen:

Differenzeiren Sie:

y=ln(2+sin²(x))

y'= [mm] \bruch{1}{2+sin²(x)} [/mm] * 2(cos(x)*sin(x))

da bin ich mir gar net sicher.

2*cos(x)*sin(x) kommt aus sin(x)*sin(x) mit Produktregel, passt das?

dann zweitens:

Unter welchem Winkel schneidet y = ln(x) die x_Achse?

habe Nullpunkt bestimmt.

x=1

dann ableitung: [mm] y'=\bruch{1}{x} [/mm] mit x= 1 folgt 1 ,

dann [mm] tan^{-1}(\bruch{1}{1}) [/mm] = 45°

letztens:

Bestimmen Sie den rel. Extremwert und den Wendepunkt der Funktion [mm] y=xe^{-x} [/mm] UntersuchenSie die notwendige und hinreciehnden Bedingunge. Ist der Extremwert ein Minimum oder ein Maximum?

y' = [mm] 1*e^{-x} -e^{-x}*x [/mm]
[mm] y''=-e^{-x} [/mm] + [mm] e^{-x}*x -e^{-x} [/mm]

aus der ersten ableitung folgt:

[mm] e^{-x}=e^{-x}*x [/mm]
x=1 Extremwert an x=1.

y-Wert=> in f(1) = [mm] e^{-1} [/mm]

Maximum oder Minimum:

y''=0

[mm] -e^{-x}+e^{-x}*x-e^{-x}= [/mm] 0
[mm] e^{-x}*x= 2e^{-x} [/mm]
x=2

Also ist an x=2 ein Wendepunkt...
für den y-Wert
f(2)= [mm] 2*e^{-2} [/mm]

dann die dritte ableitung bilden:

y'''= [mm] +e^{-x}+e^{-x}+e^{-x}-e^{-x}*x [/mm] = 0
[mm] 3*e^{-x} [/mm] = [mm] e^{-x}*x [/mm]
x=3
-> Wendepunkt.

Ist das alles okay so?

Gruß

Bezug

Ableitung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	19:54 Do 22.01.2009
Autor:	MathePower

Hallo xPae,

> Hi habe ein paar Fragen:
>
> Differenzeiren Sie:
>
> y=ln(2+sin²(x))
>
> y'= [mm]\bruch{1}{2+sin²(x)}[/mm] * 2(cos(x)*sin(x))

Das stimmt.

>
> da bin ich mir gar net sicher.
>
> 2*cos(x)*sin(x) kommt aus sin(x)*sin(x) mit Produktregel,
> passt das?
>

Ja, das paßt.

>
> dann zweitens:
>
> Unter welchem Winkel schneidet y = ln(x) die x_Achse?
>
> habe Nullpunkt bestimmt.
>
> x=1
>
> dann ableitung: [mm]y'=\bruch{1}{x}[/mm] mit x= 1 folgt 1 ,
>
> dann [mm]tan^{-1}(\bruch{1}{1})[/mm] = 45°

>
> letztens:
>
> Bestimmen Sie den rel. Extremwert und den Wendepunkt der
> Funktion [mm]y=xe^{-x}[/mm] UntersuchenSie die notwendige und
> hinreciehnden Bedingunge. Ist der Extremwert ein Minimum
> oder ein Maximum?
>
> y' = [mm]1*e^{-x} -e^{-x}*x[/mm]
>  [mm]y''=-e^{-x}[/mm] + [mm]e^{-x}*x -e^{-x}[/mm]
>
> aus der ersten ableitung folgt:
>
> [mm]e^{-x}=e^{-x}*x[/mm]
>  x=1 Extremwert an x=1.
>
> y-Wert=> in f(1) = [mm]e^{-1}[/mm]
>
> Maximum oder Minimum:
>
> y''=0
>
> [mm]-e^{-x}+e^{-x}*x-e^{-x}=[/mm] 0
>  [mm]e^{-x}*x= 2e^{-x}[/mm]
>  x=2
>
> Also ist an x=2 ein Wendepunkt...
>  für den y-Wert
> f(2)= [mm]2*e^{-2}[/mm]
>
> dann die dritte ableitung bilden:
>
> y'''= [mm]+e^{-x}+e^{-x}+e^{-x}-e^{-x}*x[/mm] = 0
>  [mm]3*e^{-x}[/mm] = [mm]e^{-x}*x[/mm]
>  x=3
>  -> Wendepunkt.

>
> Ist das alles okay so?

Ja, alles ok.

>
> Gruß

Gruß
MathePower