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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Di 17.06.2008 | | Autor: | mempys |
Hallo!
Ich scheitere gerade am Verständnis und hoffe ihr könnt mir helfen...
Ich soll die Ableitung von :
f(x)=arctan(1-x)
mit Hilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion bestimmen.
Ich verstehe ehrlich gesagt gerade nicht wie ich an die Aufgabe herangehen soll...hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
MFG mempys
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Hallo mempys,
die Regel lautet ja: [mm] $\left(f^{invers}\right)'(x)=\frac{1}{f'(f^{invers}(x))}$
[/mm]
Hier ist [mm] $f^{invers}=\arctan$ [/mm] und [mm] $f=\tan$
[/mm]
Um mal das "Problem" mit der inneren Ableitung (von 1-x) loszuwerden, können wir ausnutzen, dass der [mm] $\arctan$ [/mm] punktsymmetrisch ist, dass also gilt [mm] $\arctan(-z)=-\arctan(z)$
[/mm]
Also [mm] $\arctan(1-x)=-\arctan(x-1)$, [/mm] dann machen wir nachher vor die Ableitung einfach das "Minus" 
Also [mm] $\arctan'(x-1)=\frac{1}{\tan'(\arctan(x-1))}=\cos^2(\arctan(x-1))$
[/mm]
denn [mm] $\tan'(z)=\frac{1}{\cos^2(z)}$
[/mm]
Nun ist der "Trick", das [mm] $\cos^2(\arctan(x-1))$ [/mm] zu schreiben als
[mm] $\frac{\cos^2(\arctan(x-1))}{1}=\frac{\cos^2(\arctan(x-1))}{\cos^2(\arctan(x-1))+\sin^2(\arctan(x-1))}$
[/mm]
denn [mm] $\cos^2(z)+\sin^2(z)=1$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{1+\frac{\sin^2(\arctan(x-1))}{\cos^2(\arctan(x-1))}}$
[/mm]
Das nun noch zuende umformen... (und das "-" nachher dranklatschen )
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Di 17.06.2008 | | Autor: | mempys |
Danke erst einmal für die schnelle Antwort.das die Kettenregel angewandt werden muss war mir klar,nur das mit dem arctan irgendwie nicht :)
Vielleicht ist es eine "doofe frage",aber was soll man denn noch weiter umformen?sind wir noch nicht bei der vollendeten Ableitung?
MFG Mempys
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Hallo und nein, fertig sind wir natürlich noch nicht
Du weißt ja bestimmt, dass die Ableitung [mm] $\arctan'(z)=\frac{1}{1+z^2}$ [/mm] ist.
Das haben wir bei den Umformungen "im Blick"
Es ist auch nicht mehr viel zu tun, im Nenner steht noch [mm] $\frac{\sin^2(\arctan(x-1))}{\cos^2(\arctan(x-1))}$
[/mm]
[mm] $\frac{\sin(z)}{\cos(z)}=\tan(z)$, [/mm] also steht da nix anderes als [mm] $\tan^2(\arctan(x-1))=\left[\tan(\arctan(x-1))\right]^2= [/mm] ...$
Also ergibt sich insgesamt ....
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Di 17.06.2008 | | Autor: | mempys |
Also kommt raus:
f'(x)= [mm] \bruch{1}{1+tan^{2}(arctan^{2}(x^{2}+1))} [/mm] ?
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Hallo nochmal,
> Also kommt raus:
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> f'(x)= [mm]\bruch{1}{1+tan^{2}(arctan^{2}(x^{2}+1))}[/mm] ? *huch* ?!
Wie kommst du denn darauf?
Der ganze Sinn der Umformungen bestand doch darin, genau diesen Ausdruck [mm] $\left[\red{\tan(\arctan}(x-1))\right]^2$ [/mm] hinzubasteln, in dem [mm] $\tan$ [/mm] und [mm] $\arctan$ [/mm] sich doch zur ident. Abbildung aufheben, es sind doch Umkehrfunktionen zueinander
Dh. [mm] $\left[\red{\tan(\arctan}(x-1))\right]^2=\left[id(x-1))\right]^2=(x-1)^2$
[/mm]
Also ....
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:03 Mi 18.06.2008 | | Autor: | mempys |
:D ...man kann sich auch blöd anstellen....,danke für deine Geduld.
schönen Abend noch.
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