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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 So 10.02.2008 | | Autor: | sardelka |
Hallo,
die Aufgabe ist eine vollständige Kurvendiskussion gegebener Funktionsschar durchzuführen.
Wir haben die Lösung für die erste und zweite Ableitung bekommen, um es zu vergleichen, aber irgendwie komme ich nicht dazu.
[mm] f_{k}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{x-k}
[/mm]
Die erste Ableitung wäre ja:
[mm] f_{k}^{'}(x) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{(x-1)^{2}}+ \bruch{1}{(x-k)^{2}}
[/mm]
Die gegebene Lösung lautet aber:
[mm] f_{k}^{'}(x) [/mm] = [mm] \bruch{(k-1)(2x-k-1)}{(x-1)^{2}(x-k)^{2}}
[/mm]
Ich weiß, dass der Lehrer die erste Ableitung, die ich habe, erweitert hat, auf einen gleichen Nenner, um die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte zu berechnen.
Aber... wie?
Würde mich freuen, wenn jemand helfen würde. :)
Danke im voraus
Mit freundlichen Grüßen
sardelka
Ich habe diese Frage in keinen anderen Foren gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 So 10.02.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
Versuchs mal mit auf einen Nenner bringen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 So 10.02.2008 | | Autor: | sardelka |
ich habe in meiner frage bereits geschrieben, dass ich es weiß, dass man es auf gleichen nenner bringen muss.
meine frage lautet: wie bringt man es auf den gleichen nenner und bekommt dieses ergebnis raus, was mir der lehrer gegeben hat?
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 So 10.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo sardelka!
Bitte habe doch etwas Geduld. Schließlich schreibt abakus gerade auch eine Antwort zu Deiner Frage.
Zudem wäre es auch mehr als hilfreich, wenn Du mal Deine eigenen Rechenschritte gepostet hättest, um eventuelle Fehler zu finden.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 So 10.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> die Aufgabe ist eine vollständige Kurvendiskussion
> gegebener Funktionsschar durchzuführen.
> Wir haben die Lösung für die erste und zweite Ableitung
> bekommen, um es zu vergleichen, aber irgendwie komme ich
> nicht dazu.
>
> [mm]f_{k}(x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{x-1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{x-k}[/mm]
>
> Die erste Ableitung wäre ja:
> [mm]f_{k}^{'}(x)[/mm] = - [mm]\bruch{1}{(x-1)^{2}}+ \bruch{1}{(x-k)^{2}}[/mm]
>
> Die gegebene Lösung lautet aber:
> [mm]f_{k}^{'}(x)[/mm] = [mm]\bruch{(k-1)(2x-k-1)}{(x-1)^{2}(x-k)^{2}}[/mm]
>
> Ich weiß, dass der Lehrer die erste Ableitung, die ich
> habe, erweitert hat, auf einen gleichen Nenner, um die
> Nullstellen, Extrema und Wendepunkte zu berechnen.
> Aber... wie?
Die Frage ist nicht dein Ernst, oder? Natürlich so, dass hinterher der Hauptnenner entsteht.
Also muss der erste Bruch mit [mm] (x-k)^2 [/mm] und der zweite Bruch mt [mm] (x-1)^2 [/mm] erweitert werden.
Sicher, die nachfolgenden Umformungen sind nicht ganz so leicht.
Gehen wir Schritt für Schritt:
[mm]f_{k}^{'}(x)=-\bruch{1}{(x-1)^{2}}+ \bruch{1}{(x-k)^{2}} = - \bruch{(x-k)^{2}}{(x-1)^{2}*(x-k)^{2}}+ \bruch{(x-1)^{2}}{(x-k)^{2}*(x-1)^{2}}= \bruch{-(x-k)^{2}}{(x-1)^{2}*(x-k)^{2}}+ \bruch{(x-1)^{2}}{(x-k)^{2}*(x-1)^{2}}[/mm]
Bis hierher klar? Bevor wir alles auf einen gemeinsamen Bruchstrich schreiben, können wir in den Zählern noch die binomische Formel anwenden:
...[mm]= \bruch{-(x^2-2kx+k^2)}{(x-1)^{2}*(x-k)^{2}}+ \bruch{x^2-2x+1}{(x-k)^{2}*(x-1)^{2}}[/mm]
und jetzt auf einem Bruchstrich:
...[mm]= \bruch{-(x^2-2kx+k^2)+(x^2-2x+1)}{(x-1)^{2}*(x-k)^{2}}[/mm]
Zähler vereinfachen:
...[mm]= \bruch{2kx-2x-k^2+1}{(x-1)^{2}*(x-k)^{2}}=\bruch{2kx-2x-(k^2-1)}{(x-1)^{2}*(x-k)^{2}}[/mm]
In 2kx-2x kann man 2x ausklammern, es entsteht 2x(k-1).
Wie sieht es mit dem restlichen Zähler (also [mm] k^2-1) [/mm] aus?
[mm] k^2-1 [/mm] kann man in (k-1)(k+1) zerlegen. Wir haben also jeweils den Faktor (k-1) drin!
...[mm]= \bruch{(k-1)2x -(k-1)(k+1)}{(x-1)^{2}*(x-k)^{2}}[/mm]
Das ist jetzt einen Schritt vor der Lösung deines Lehrers.
> Würde mich freuen, wenn jemand helfen würde. :)
>
> Danke im voraus
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> sardelka
>
> Ich habe diese Frage in keinen anderen Foren gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 So 10.02.2008 | | Autor: | sardelka |
Also ich möchte hier keine Unterstellungen haben. Wenn Sie damit nicht klarkommen, dass ich es vergessen habe(manchmal hat man halt einen Blackout, besonders nach einer Feier), dann brauchen Sie die Frage gar nicht zu beantworten. Keiner zwingt Sie dazu.
Jetzt sehe ich auch was ich anders gemacht habe. Nämlich einfach das ganze mal (x-1)(x-k) genommen, sodass der Nenner 1 wäre. Aber anscheinend geht es nicht, vielleicht bin ich noch nicht ganz dabei, um darauf zu kommen. Aber das brauchen Sie mir nicht zu beantworten, danke.
Und es hätte gereicht, wenn Sie nur den ersten Schritt aufgeschrieben hätten, denn binomische Formel usw. kann ich auch ohne Hilfe. :)
Trotzdem danke für die Mühe.
Mit freundlichen Grüßen
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