Ableiten von Matrix*Vektor < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Kato |
| Aufgabe | | Leiten sie [mm] 2Ax*sinh(x^T*A*x)-b [/mm] nach x ab. Dabei ist [mm] A \in \IR^{n,n} [/mm] symmetrisch positive definit und [mm] x,b \in \IR^n [/mm]. |
Guten Abend liebe Mathefreunde,
also ich habe mal angefangen:
Produktregel: u'v + uv' Setze: [mm]u = 2Ax[/mm] und [mm]v = sinh(x^T*A*x) [/mm]
b ist konstant fällt also weg.
Also: [mm] 2A * sinh(x^T*A*x) + 2Ax*(sinh(x^T*A*x))' [/mm]
Nun Kettenregel:
[mm] (sinh(x^T*A*x))' = (A*x + x^T*A)*cosh(x^T*A*x)[/mm] und
[mm] (A*x + x^T*A) \to (A*x + A^T*x)[/mm] da im euklidischen Raum
[mm] (A*x + A^T*x) \to 2*A*x[/mm] da A symmetrisch.
Also: [mm] 2A * sinh(x^T*A*x) + 4* Ax*Ax*cosh(x^T*A*x) [/mm]
Nun mein Problem Ax*Ax ist ein Vektorprodukt, aber ich weiß nicht, welchen Vektor ich transponieren soll:
1. [mm] Ax*(Ax)^T [/mm] ist eine Matrix
2. [mm] (Ax)^T*Ax [/mm] ein Skalar
laut Musterlösung ist 1 richtig.
Wie komme ich darauf?
Herzliche Grüße
Kato
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Hallo Kato,
> Leiten sie [mm]2Ax*sinh(x^T*A*x)-b[/mm] nach x ab. Dabei ist [mm]A \in \IR^{n,n}[/mm]
> symmetrisch positive definit und [mm]x,b \in \IR^n [/mm].
> Guten
> Abend liebe Mathefreunde,
>
> also ich habe mal angefangen:
> Produktregel: u'v + uv' Setze: [mm]u = 2Ax[/mm] und [mm]v = sinh(x^T*A*x)[/mm]
>
> b ist konstant fällt also weg.
> Also: [mm]2A * sinh(x^T*A*x) + 2Ax*(sinh(x^T*A*x))'[/mm]
>
> Nun Kettenregel:
> [mm](sinh(x^T*A*x))' = (A*x + x^T*A)*cosh(x^T*A*x)[/mm] und
> [mm](A*x + x^T*A) \to (A*x + A^T*x)[/mm] da im euklidischen Raum
> [mm](A*x + A^T*x) \to 2*A*x[/mm] da A symmetrisch.
>
> Also: [mm]2A * sinh(x^T*A*x) + 4* Ax*Ax*cosh(x^T*A*x)[/mm]
>
> Nun mein Problem Ax*Ax ist ein Vektorprodukt, aber ich
> weiß nicht, welchen Vektor ich transponieren soll:
> 1. [mm]Ax*(Ax)^T[/mm] ist eine Matrix
> 2. [mm](Ax)^T*Ax[/mm] ein Skalar
> laut Musterlösung ist 1 richtig.
> Wie komme ich darauf?
>
Oben hast Du doch stehen:
[mm]2A * sinh(x^T*A*x) + 2Ax*(sinh(x^T*A*x))'[/mm]
Darin ist A eine Matrix und [mm]sinh(x^T*A*x)[/mm] ein Skalar.
Daher muss [mm]2Ax*(sinh(x^T*A*x))'[/mm] ebenfalls eine Matrix sein.
> Herzliche Grüße
> Kato
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Kato |
Hallo MathePower,
danke erst mal für deine Antwort. Allerdings wäre mir eine konkrete Regel für das Ableiten lieber gewesen. Ich bin jetzt nämlich zur nächsten Aufgabe und muss nun [mm] 4(x^T*x)x-4(\vec{1}^T*x)*\vec{1} [/mm] ableiten, wobei [mm] \vec{1} = (1, 1, ..., 1) [/mm] ist. Die mir bekannten Ableitungsregeln scheinen hier aber nicht so zu gelten.
Meine Lösung: [mm] 4*[2*(x^T*x)+x*x-\vec{1}^T*\vec{1}] [/mm]
Die Musterlösung: [mm] 4*[2*x*x^T+x^T*x*\vec{1}-\vec{1}*\vec{1}^T] [/mm]
Was muss man da beachten, was ich übersehe?
Herzliche Grüße
Kato
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Hallo Kato,
> Hallo MathePower,
>
> danke erst mal für deine Antwort. Allerdings wäre mir
> eine konkrete Regel für das Ableiten lieber gewesen. Ich
> bin jetzt nämlich zur nächsten Aufgabe und muss nun
> [mm]4(x^T*x)x-4(\vec{1}^T*x)*\vec{1}[/mm] ableiten, wobei [mm]\vec{1} = (1, 1, ..., 1)[/mm]
> ist. Die mir bekannten Ableitungsregeln scheinen hier aber
> nicht so zu gelten.
> Meine Lösung: [mm]4*[2*(x^T*x)+x*x-\vec{1}^T*\vec{1}][/mm]
> Die Musterlösung:
> [mm]4*[2*x*x^T+x^T*x*\vec{1}-\vec{1}*\vec{1}^T][/mm]
> Was muss man da beachten, was ich übersehe?
>
Nimmt man an, daß x ebenfalls ein Zeilenvektor ist,
so ist der Ausdruck
[mm]x^T*x*\vec{1}[/mm]
nicht definiert.
> Herzliche Grüße
> Kato
Gruss
MathePower
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