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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe 1 | Gegeben folgende zwei Abbildungen:
f: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
f(x):= x |x|
g: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
g(x):= [mm] \begin{cases} |x|^{\bruch{3}{2}} sin(\bruch{1}{x}) , & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | a) Sind f und g stetig? |
| Aufgabe 3 | | b) Zeige, dass die Ableitung f' und g' existieren |
Hallo zusammen,
ich bin mir bei der folgenden Aufgabe nicht ganz sicher und habe noch einige Frage, hoffe, dass mir jemand mit meiner Verwirrung helfen kann 
zu a)
ich habe die Graphen gezeichnet und meiner Ansicht nach sind beide stetig in allen Punkten. Meine Frage dazu ist es, wie man das nun zeigt?
zu b)
Die Ableitung von f:
f'(x) = x' |x| + x |x|'
nun stimmt es, dass die Ableitung von |x| für x>1 1 beträgt und für x<1 -1?
Dann mache ich ja eine Fallunterscheidung:
für x>1
f'(x) = |x| + x = 2x
für x<1
f'(x)= |x| - x = 0 ??? Das kann ja nicht sein?!?
Meine Kollegin hat es wie folgt gemacht:
f(x) = [mm] \begin{cases} x x = x^2 & \\ -x x = -(x^2) \end{cases}
[/mm]
f'(x) = [mm] \begin{cases} 2x & \\ -2x \end{cases}
[/mm]
Die Ableitung erscheint mir logischer, aber die Herleitung nicht, kann man das nicht auch mit der Produkteregel zeigen, wie ich es angefangen habe?
Die Ableitung von g:
g(x) = [mm] \begin{cases} |x|^{\bruch{3}{2}} sin(\bruch{1}{x}), x \not= 0 & \\ 0, x = 0 \end{cases}
[/mm]
g'(x) = [mm] \begin{cases} \bruch{3}{2}|x|^{\bruch{1}{2}}|x|' sin(\bruch{1}{x}) + |x|^{\bruch{3}{2}} cos(\bruch{1}{x}) (-x^2) & \\ 0 \end{cases}
[/mm]
Dann wieder eine Fallunterscheidung:
für x>1 ist |x|' = 1
also g'(x) = [mm] \bruch{3}{2}|x|^{\bruch{1}{2}} sin(\bruch{1}{x}) [/mm] + [mm] |x|^{\bruch{3}{2}} cos(\bruch{1}{x}) (-x^2)
[/mm]
für x<1 ist |x|' = -1
also g'(x) = [mm] -\bruch{3}{2}|x|^{\bruch{1}{2}} sin(\bruch{1}{x}) [/mm] + [mm] |x|^{\bruch{3}{2}} cos(\bruch{1}{x}) (-x^2)
[/mm]
Vielleicht hat mir irgendjemand einen guten rat, vielen dank im voraus.
ps. habe die frage auf kein anderes forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Astor |
Ich würde die Funktionsterme mit Hilfe einer Fallunterscheidung schreiben.
a) [mm]f(x)=\{x^2; falls x >=0 und -x^2 ; falls x<0[/mm]
Diese Funktion ist an jeder Stelle x aus IR definiert und stetig und differenzierbar. Du kannst jeden Ast für sich ableiten. Man erhält für den oberen Ast
[mm]f'(x)=2x[/mm]
für den unteren Ast
[mm]f'(x)=-2x[/mm]
Du musst unterscheiden zwischen x >= 0 und x<0.
Die Stetigkeit kann man so argumentieren. f(x) ist fallweise ein Produkt aus zwei stetigen Funktionen, nämlich y=x. Also ist f stetig. Genauso egründet man die Differenzierbarkeit. Nur die Nahtstelle x=0 ist interessant. Bei Steigkeit muss man die linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert und den Funktionswert für x=0 betrachten.
Bei Differenzierbarkeit genügt es die linsseitige und rechtsseitige Ableitung zu betrachten. Aber bei Aufgabe a) gilt jeweils f'(0)=0
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Vielen Dank
D.h. für a) ist das richtig, was meine Kollegin gemacht hat?
und b) ist diese aufgabe so richtig gelöst?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:02 Di 16.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo [mm] Giorda_N!
[/mm]
Ja, Deine Kollegin hat das genau richtig gemacht.
Das Problem Deiner Lösung mittels  Produktregel ist die teilableitung des Betragsterms $|x|_$. Dann benötigst Du wieder die entsprechende Fallunterscheidung ... daher macht man diese gleich zu Beginn (wie Deine Kollegin).
Zudem musst Du hier die Fallunterscheidung in $x \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \red{0}$ [/mm] bzw. $x \ < \ [mm] \red{0}$ [/mm] vornehmen (nicht bei $1_$ ).
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Di 16.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Giorda!
Auch hier treffen exakt dieselben Korrekturanmerkungen wie bei a.) zu.
Mache also gleich die entsprechende Fallunterscheidung (mit der Schnittstelle [mm] $\red{0}$ [/mm] und nicht $1_$ !).
Zudem fehlt dann noch der Nachweis, dass linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.
Gruß
Loddar
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