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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 So 28.12.2008 | | Autor: | summi |
| Aufgabe | Differenziere die Funktion!
1. y=arctan [mm] \bruch{x + 1}{x - 1} [/mm]
2. y=ln [mm] \bruch{1-e^x}{e^x}
[/mm]
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Hallo ihr Lieben
kann mir bitte jemand bei diesen Aufgaben helfen?
ich weiß das ich die Kettenregel verwenden muss. aber ich komme irgendwie nicht weiter!
vielen dank für eure Hilfe
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Hallo
Die Ableitung von ln(x) kenst du [mm] sicherlich,ln'(x)=\bruch{1}{x}.
[/mm]
Für deine Funktion brauchst jetzt die Ketten-,und quotienten regel.
Zunächst bestimmst du die äußere Ableitung deiner Funktion,die wäre
äußere [mm] Ableitung:=\bruch{1}{\bruch{1-e^{x}}{e^{x}}}=\bruch{e^{x}}{1-e^{x}}
[/mm]
Jetzt bestimmst du die innere Ableitung,also die Ableitung von [mm] \bruch{1-e^{x}}{e^{x}},dafür [/mm] brauchst du nochmal die Ketten und-,und Quotientenregel,also
[mm] u'=-e^{x}
[/mm]
[mm] v=e^{x}
[/mm]
[mm] v'=e^{x}
[/mm]
[mm] u=1-e^{x}
[/mm]
innere Ableitung: [mm] \bruch{(-e^{x}*e^{x})-e^{x}*(1-e^{x})}{(e^{x})^{2}}=\bruch{-1}{e^{x}}
[/mm]
Jetzt nur noch äußere mal innere rechenen:
[mm] \bruch{e^{x}}{1-e^{x}}*\bruch{-1}{e^{x}}=-\bruch{1}{1-e^{x}}.
[/mm]
Hoffe du hast es jetzt verstanden.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 28.12.2008 | | Autor: | summi |
ok vielen dank! aber mir ist nicht ganz klar wie du von
[mm] \bruch{e^{x}}{1-e^{x}}\cdot{}\bruch{-1}{e^{x}}=
[/mm]
auf das kommst
[mm] -\bruch{1}{1-e^{x}}.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 So 28.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo summi!
Bei der Multiplikation von Brüchen gilt doch "Zähler mal Zähler" und "Nenner mal Nenner".
Man kann diese Brüche also auf einem Bruch schreiben und anschließend durch [mm] $e^x$ [/mm] kürzen:
[mm] $$\bruch{e^{x}}{1-e^{x}}\cdot{}\bruch{-1}{e^{x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\blue{e^x}*(-1)}{\left(1-e^x\right)\cdot{}\blue{e^x}} [/mm] \ = \ [mm] (-1)*\bruch{1}{1-e^x}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 So 28.12.2008 | | Autor: | summi |
ahhh ja stimmt...ich danke dir!!!
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Hallo summi,
> Differenziere die Funktion!
>
> 1. y=arctan [mm]\bruch{x + 1}{x - 1}[/mm]
>
> 2. y=ln [mm]\bruch{1-e^x}{e^x}[/mm]
>
> Hallo ihr Lieben
>
> kann mir bitte jemand bei diesen Aufgaben helfen?
>
> ich weiß das ich die Kettenregel verwenden muss. aber ich
> komme irgendwie nicht weiter!
zu 1.:
[mm]y\left(x\right)=\operatorname{arctan}\left(\bruch{x+1}{x-1}\right)[/mm]
Nun die Ableitung ergibt sich mit Hilfe der Kettenregel.
Dazu definieren wir: [mm]z\left(x\right)=\bruch{x+1}{x-1}[/mm]
Dann ist
[mm]y\left(x\right)=\operatorname{arctan}\left(\ z\left(x\right) \ \right)[/mm]
Somit ergibt sich dann
[mm]y'\left(x\right)=z'\left(x\right)*\left( \ \operatorname{arctan}\left(\ z\left(x\right) \ \right) \ \right)'=\bruch{z'\left(x\right)}{1+\left( \ z\left(x\right) \ \right)^ {2}}[/mm]
>
> vielen dank für eurre Hilfe
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 So 28.12.2008 | | Autor: | summi |
vielen dank!
dann komme ich auf
[mm] \bruch{1}{1+x^2}. [/mm]
aber ich glaube es muss [mm] \bruch{-1}{1+x^2} [/mm] raus kommen!??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 So 28.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo summi!
Du hast Recht: auch ich habe am Ende [mm] $\red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{1+x^2}$ [/mm] erhalten.
Wie lautet denn Deine innere Ableitung [mm] $\left(\bruch{x+1}{x-1}\right)'$ [/mm] ?
Denn da entsteht am Ende das Minuszeichen mit [mm] $\bruch{-2}{(x-1)^2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:19 So 28.12.2008 | | Autor: | summi |
ich komme damit nicht richtig zurecht?! wie bist du genau darauf gekommen?
ich habe das ergebnis vorgegeben aber ich komm da nicht drauf!
Ich danke dir für deine Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 So 28.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo summi!
Dann poste doch mal bitte, wie Du auf Dein Ergebnis mit [mm] $\bruch{1}{1+x^2}$ [/mm] gekommen bist.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 So 28.12.2008 | | Autor: | summi |
[mm] y'\left(x\right)=z'\left(x\right)\cdot{}\left( \ \operatorname{arctan}\left(\ z\left(x\right) \ \right) \ \right)'=\bruch{z'\left(x\right)}{1+\left( \ z\left(x\right) \ \right)^ {2}} [/mm]
und z abgeleitet ist ja eins und dann einsetzen, dann komme ich auf
[mm] \bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 So 28.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo summi!
Das stimmt so nicht. Es gilt hier doch:
$$z(x) \ = \ [mm] \bruch{x+1}{x-1}$$
[/mm]
Wie lautet dann also $z'(x)_$ ? Man benötigt dafür die  Quotientenregel.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 So 28.12.2008 | | Autor: | reverend |
> und z abgeleitet ist ja eins
Aber nicht doch. Du leitest ja nicht z nach dz, sondern z(x) nach dx ab.
Oh. Ich sehe gerade, dass Deine Mitteilung zur Frage geworden ist und Loddar eine Antwort schreibt.
Dann spar ich mir erstmal den Rest und warte ab.
edit: ...und dann schicken wir auch noch fast gleichzeitig ab.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:17 Mo 29.12.2008 | | Autor: | summi |
ahh ok stimmt ... dann ist die Innereableitung:
[mm] \bruch{-2}{(x-1)^2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo summi!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
Wie lautet die äußere Ableitung? Anschließend beide Terme (äußere und innere Ableitung) miteinander multiplizieren und zusammenfassen.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 08:24 Mo 29.12.2008 | | Autor: | summi |
Äußere Ableitung:
[mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo summi!
Siehe hier; da wurde Dir schon ein entsprechender Tipp gegeben. Du musst lediglich noch $z(x)_$ einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:11 Mo 29.12.2008 | | Autor: | summi |
ok
[mm] \bruch{z'\left(x\right)}{1+\left( \ z\left(x\right) \ \right)^ {2}}
[/mm]
einsetzen:
[mm] \bruch{-2}{(x-1)^2} [/mm] : [mm] 1+\bruch{(x+1)^2}{(x-1)^2} [/mm]
=
[mm] \bruch{-2}{(x-1)^2} [/mm] : [mm] (x+1)^2 [/mm]
wenn ich das jetzt aber weiter rechne komme ich nicht auf
[mm] \bruch{-1}{1+x^2}
[/mm]
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> [mm]\bruch{-2}{(x-1)^2}[/mm] : [mm]1+\bruch{(x+1)^2}{(x-1)^2}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{-2}{(x-1)^2}[/mm] : [mm](x+1)^2[/mm]
Hallo,
dieser Gleichheit kann ich nicht folgen.
Rechne das mal ausführlich.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Mo 29.12.2008 | | Autor: | summi |
ok dann scheint es ja schon falsch zu sein:
[mm] 1+\bruch{(x+1)^2}{(x-1)^2} [/mm]
=
[mm] \bruch{(1*(x-1)^2) + (x+1)^2 }{(x-1)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{-2}{(x-1)^2} [/mm] : [mm] \bruch{(x-1)^2 + (x+1)^2 }{(x-1)^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{(-2*(x-1)^2)}{(x-1)^2*((x-1)^2+(x+1)^2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo summi!
> [mm]=\bruch{(-2*(x-1)^2)}{(x-1)^2*((x-1)^2+(x+1)^2}[/mm]
Nun kannst Du schon mal durch [mm] $(x-1)^2$ [/mm] kürzen.
Anschließend im Nenner die beiden binomischen Formel auflösen und zusammenfassen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Mo 29.12.2008 | | Autor: | summi |
[mm] =\bruch{(-2\cdot{}(x-1)^2)}{(x-1)^2\cdot{}((x-1)^2+(x+1)^2}
[/mm]
kürzen
[mm] =\bruch{-2}{(x-1)^2+(x+1)^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2}{2x^2+2}
[/mm]
[mm] =\bruch{-1}{x^2+1}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo summi!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau so!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Mo 29.12.2008 | | Autor: | summi |
jippi...ach ich danke dir :)
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