Ableiten < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] $y''+y=e^{x^2}$
[/mm]
[mm] $y_p=sin(x)*\integral_{0}^{x}e^{-t^2}cos(t)\;dt-cos(x)*\integral_{0}^{x}e^{-t^2}sin(t)\;dt$ [/mm] |
Hallo,
könnte mir bitte jemand helfen beim Ableiten der partikulären Lösung?
[mm] $y_p'=cos(x)*\integral_{0}^{x}e^{-t^2}cos(t)\;dt+sin(x)*\integral_{0}^{x}e^{-t^2}sin(t)\;dt$
[/mm]
kann es wohl nicht sein.
Vielen Dank im Voraus,
Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 So 15.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martinius!
Benennen wir wie folgt:
[mm] $$y_p [/mm] \ = \ [mm] \sin(x)*\integral_{0}^{x}{e^{-t^2}*\cos(t)\;dt}-\cos(x)*\integral_{0}^{x}{e^{-t^2}*\sin(t)\;dt} [/mm] \ = \ [mm] \sin(x)*\integral_{0}^{x}{f(t)\;dt}-\cos(x)*\integral_{0}^{x}{g(t)\;dt}$$
[/mm]
Dann gilt auch:
[mm] $$y_p(x) [/mm] \ = \ [mm] \sin(x)*\left[F(x)-F(0)\right]-\cos(x)*\left[G(x)-G(0)\right]$$
[/mm]
Nun mittels  Produktregel ableiten und bedenken, dass $F(0)_$ bzw. $G(0)_$ Konstanten sind:
[mm] $$y_p'(x) [/mm] \ = \ [mm] \cos(x)*\left[F(x)-F(0)\right]+\sin(x)*F'(x)+\sin(x)*\left[G(x)-G(0)\right]-\cos(x)*G'(x)$$
[/mm]
Nun für $F'(x)_$ und $G'(x)_$ wiederum die ursprünglichen Integrandenfunktionen einsetzen und zusammenfassen.
gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 So 15.02.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo Loddar,
vielen Dank für die Antwort. Jetzt hab' ich auch das richtige Ergebnis für die DGL raus.
LG, Martinius
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