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| Aufgabe | Im Koordinatensystem sind einige Graphen Ka der Funktionenschar
fa mit fa[mm] (x)=x^3+(3-3a)x^2-3ax; [/mm] x [mm] \in [/mm] R; a [mm] \in [/mm] R dargestellt.
1) Zeigen Sie, dass jeder Graph Ka genau einen Wendepunkt Wa [mm] (a-1/-2a^3+3a^2-3a+2) [/mm] besitzt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Frage stammt von folgender Seite:
![[]](/images/popup.gif) http://www.bildung-brandenburg.de/fileadmin/bbs/unterricht_und_pruefungen/faecher_der_allgemeinbildung/mathematik/pruefungen/05_Ma_A_G.pdf
(da findet ihr auch eine Grafik zur Funktion)
Ich habe zunächst mal die Ableitungen berechnet:
[mm] f'(x)=x^3+3x^2-3ax
[/mm]
f''(x)=6x+6-6a
f'''(x)=6
Die Berechnung des Wendepunktes:
f''(x)= 0
0=6x+6-6a
0=x+1-a
x=a-1
f'''(a-1)=6 [mm] \not=0
[/mm]
[mm] f(a-1)=(a-1)^3+(3-3a)[/mm] [mm] * [/mm] [mm] (a-1)^2-3a(a-1)
[/mm]
Und hier liegt dann mein Problem. Ich schaffe es nicht diese Gleichung so zu lösen, dass ich auf den Wendepunkt komme, der in der Aufgabe vorgegeben ist. Ist [mm] (a-1)^2 [/mm] als binomische Formel aufzulösen? Hab das nämlich so versucht. Kam aber trotzdem auf kein Ergebnis. Wäre nett, wenn mir einer beim Lösen helfen könnte(Schritt für Schritt).
Danke im Vorraus
Liebe Grüße Nicole
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Hey!
Die Ableitung habe ich leider falsch abgeschrieben. Sorry!
Die muss natürlich [mm] f'(x)=3x^2+6x-6ax-3a [/mm] lauten.
Die Gleichung konnte ich aber trotzdem noch nicht lösen.
Hier mal meine Überlegungen:
[mm] f(a-1)=(a-1)^3+3(a-1)^2-3a(a-1)^2-3a(a-1)
[/mm]
so jetzt hab ich mir das so gedacht (Nebenrechnung):
[mm] (a-1)^2=a^2+2a+1
[/mm]
[mm] (a-1)^3=(a-1)^2[/mm] [mm]*[/mm][mm] (a-1)=(a^2+2a+1)[/mm] [mm]*[/mm][mm] (a-1)=a^3+a^2-a-1
[/mm]
Das habe ich dann in meine Ausgangsgleichung eingesetzt.
[mm] f(x)=a^3+a^2-a-1+3a^2+6a+3-3a^3-6a^2-3a-3a^2+3a=-2a^3-5a^2+5a+2
[/mm]
Eigentlich müsste aber [mm] -2a^3+3a^2-3a+2 [/mm] raus kommen. Findet jemand meinen Fehler? Hab die Aufgabe jetzt schon mehrmals durchgerechnet und bin kurz davor zu verzweifeln!
LG Nicole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Di 18.04.2006 | | Autor: | statler |
Oh Mann, Nicole...
> Die Gleichung konnte ich aber trotzdem noch nicht lösen.
> Hier mal meine Überlegungen:
> [mm]f(a-1)=(a-1)^3+3(a-1)^2-3a(a-1)^2-3a(a-1)[/mm]
> so jetzt hab ich mir das so gedacht (Nebenrechnung):
> [mm](a-1)^2=a^2+2a+1[/mm]
Neenee, das ist [mm] a^{2} [/mm] - 2a + 1
> [mm](a-1)^3=(a-1)^2[/mm] [mm]*[/mm][mm] (a-1)=(a^2+2a+1)[/mm] [mm]*[/mm][mm] (a-1)=a^3+a^2-a-1[/mm]
und das ist [mm] a^{3} [/mm] - [mm] 3a^{2} [/mm] + 3a - 1
> Das habe ich dann in meine Ausgangsgleichung eingesetzt.
>
> [mm]f(x)=a^3+a^2-a-1+3a^2+6a+3-3a^3-6a^2-3a-3a^2+3a=-2a^3-5a^2+5a+2[/mm]
>
> Eigentlich müsste aber [mm]-2a^3+3a^2-3a+2[/mm] raus kommen. Findet
> jemand meinen Fehler? Hab die Aufgabe jetzt schon mehrmals
> durchgerechnet und bin kurz davor zu verzweifeln!
Um Gottes Willen, nein! Jetzt nochmal rechnen, bessert sich was?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Danke! Glaub ich weiß jetzt was ich falsch gemacht habe.
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| Aufgabe | Im Koordinatensystem sind einige Graphen Ka der Funktionenschar fa mit fa $ [mm] (x)=x^3+(3-3a)x^2-3ax; [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ R; a $ [mm] \in [/mm] $ R dargestellt.
a) Zeigen Sie, dass jeder Graph Ka genau einen Wendepunkt Wa $ [mm] (a-1/-2a^3+3a^2-3a+2) [/mm] $ besitzt.
b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Wendetangente (Tangente im Wendepunkt) an K1.
Ein Graph der Schar fa hat eine Wendetangente, deren Anstieg größer ist als der Anstieg aller anderen Wendetangenten an Ka.
Ermitteln Sie den zugehörigen Parameter a und geben Sie diesen größtmöglichen Anstieg an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe diese Aufgabe von der Seite
http://www.bildung-brandenburg.de/fileadmin/bbs/unterricht_und_pruefungen/faecher_der_allgemeinbildung/mathematik/pruefungen/05_Ma_A_G.pdf
Die Aufgabe a) habe ich bereits gelöst (wer dazu eine Frage hat, kann in meine anderen Artikel schauen, da ist die Aufgabe bereits dabei)
Bei b) habe ich nun die Wendetangente berechnet. Sie lautet y=-3x. Falls das falsch ist bitte ich um eine Korrektur.
Und jetzt komme ich nicht weiter. Ich verstehe zwar, dass m und somit die erste Ableitung maximal sein müssen, aber das hilft mir in meinen Überlegungen nicht viel. Müsste die Wendetangente senkrecht stehen, damit der Anstieg maximal ist?
Komme leider absolut nicht weiter. Ein Tip oder der Lösungsansatz bzw. eine kurze Erklärung wären sehr hilfreich.
Danke im Vorraus.
LG Nicole
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Di 18.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nicole!
> Bei b) habe ich nun die Wendetangente berechnet. Sie lautet y=-3x.
Das ist aber die Wendetangente für den konkreten Fall $a \ = \ 1$, also für die Kurve [mm] $K_{\red{1}}$ [/mm] .
Für die Extremwertberechnung musst Du die allgemeine Steigung $m \ = \ m(a)$ der Wendetangente ermitteln mit:
$m(a) \ = \ [mm] f_a'(x_w) [/mm] \ = \ [mm] f_a'(a-1) [/mm] \ = \ ...$
Und für diese Funktion $m(a)_$ ist dann die Extremwertberechnung (Nullstelle der 1. Ableitung etc.) durchzuführen.
Kontrollergebnis: [mm] $a_E [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ $\Rightarrow$ $m_{\max} [/mm] \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{9}{4}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Aber es war doch auch die Aufgabe die Wendetangente an K1 heraus zu finden! Oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:19 Di 18.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nicole!
> Aber es war doch auch die Aufgabe die Wendetangente an
> K1 heraus zu finden! Oder?
Richtig! Das war auch gesucht ... und wurde mit [mm] $t_1(x) [/mm] \ = \ -3*x$ auch richtig gelöst.
Allerdings:
| Aufgabe | Ein Graph der Schar [mm] $f_a$ [/mm] hat eine Wendetangente, deren Anstieg größer ist als der Anstieg aller anderen Wendetangenten an [mm] $K_a$. [/mm]
Ermitteln Sie den zugehörigen Parameter $a_$ und geben Sie diesen größtmöglichen Anstieg an. |
Also ...? 
Gruß
Loddar
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Komme leider keinen Schritt weiter.
Der Anstieg (allgemein) wäre ja [mm] m=-2a^3+3a^2-3a+2.
[/mm]
Aber was mache ich jetzt damit? Wie finde ich heraus, für welches a m maximal ist?
Steht die Wendetangente dann senkrecht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Di 18.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nicole!
Du musst den Wert [mm] $x_w [/mm] \ = \ a-1$ in die Ableitungsfunktion einsetzen:
[mm] $f_a\red{'}(a-1) [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \blue{-3a^2+3a-3 \ = \ m(a)}$
[/mm]
Und für diese Funktion $m(a)_$ nun die Extremwertberechnung ...
Gruß
Loddar
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Warum muss ich den hier das Extremum berechnen? (Sorry, wenn die Frage vielleicht dumm ist. Aber ich versuche einfach alles bis ins Detail zu verstehen und nichts oberflächlich zu machen)
LG Nicole
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Di 18.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nicole!
Gemäß Aufgabenstellung wird doch ein Wert der Steigung $m_$ gesucht, der größer ist als alle anderen, also den größten Wert!
Und dieser "größte Wert" stellt doch nun ein Maximum, also ein Extremum, dar!
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ??
Gruß
Loddar
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Ich glaube langsam kommt die Erleuchtung.
Ich habe das jetzt mal probiert:
f'(a-1)=m
[mm] =3(a-1)^2+6(a-1)-6a(a-1)-3a
[/mm]
[mm] =-3a^2+3a-3
[/mm]
von [mm] m=-3a^2+3a-3 [/mm] bilde ich dann die erste Ableitung
m'(x)=-6a+3
Die setzt ich gleich Null (Extremum berechnen)
0=-6a+3
a=0,5
Aber wenn ich das jetzt in [mm] m=-3a^2+3a-3 [/mm] einsetzt komme ich ja auf -2,25!?! (was hat das Minus da denn zu tuen????)
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| Aufgabe | (Den Angang der Aufgabe findet ihr in den vorherigen Fragen)
c) Der Graph K [mm] \bruch{3}{2} [/mm] und die x-Achse begrenzen zwei Flächen vollständig. Ermitteln Sie das Verhältnis der beiden Flächeninhalte.
Für eine Kurve K a sind die beiden beschriebenen Flächen gleich groß. Bestimmen Sie a. |
So ich habe nun erstmal [mm] \bruch{3}{2} [/mm]=a in die Funktion eingesetzt und komme dann auf [mm] f(x)=x^3-1,5x^2-4,5x
[/mm]
Davon habe ich die Nullstellen berechnet. Sie lauten: -1,5;0;3
Die Nullstellen bilden dann da Intervall der zu berechnenden Flächen.
Meine Flächen sind dann:
A[mm]1[/mm]=5[mm] \bruch{31}{64} [/mm]
A[mm]2[/mm]=13[mm] \bruch{1}{2} [/mm]
A[mm]1[/mm]:A[mm]2[/mm]=[mm] \bruch{13}{32} [/mm]:1
(das hört sich für mich nicht sehr logisch an. Falls es falsch ist bitt ich um Korrektur)
Der zweite Teil der Aufgabe ist dann a zu bestimmen, wobei die beiden Flächen gleich groß sein sollen.
Nur wie funktioniert das??????
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![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]") Vielen Dank!!
Habe die Aufgabe jetzt über die Punktsymmetrie gelöst:
W(0/0) deshalb ist a gleich 1
f(- x )=-f(x)
2=2
Die Lösung ist also a=1
Richtig? 
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> > f(-x)=-f(x)
> > 2=2
>
> Was rechnest Du hier? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Das ist die Punktsymmetrie. Hatte aber zuerst f(-1)=-f(x) dazustehen.
Hab meinen Fehler schon gefunden. Hatte statt 0 (aus dem Wendepunkt) 1 eingesetzt. Es kommt dann also bei der Gleichung etwas anderes raus.
LG Nicole
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Diese Ableitung stimmt nicht!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Dein Ergebnis ist richtig (ich habe meinen Vorzeichenfehler oben bereits behoben)!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Viel schneller und einfacher geht es allerdings mit Überlegen 