Abhängigkeit Zufallsvariablen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Do 07.01.2010 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | In einer Urne befinden sich zwei schwarze und eine weiße Kugel. Der Urne werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen entnommen. Für i=1,2 sei
[mm] X_{i}=\begin{cases} 1, & \mbox{falls die i-te Kugel schwarz ist } \mbox{ } \\ 0, & \mbox{falls die i-te Kugel weiß ist } \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Sind X1,X2 unabhängig? Bleibt es bei diesem Ergebnis, wenn man nach dem ersten Zug die Kugel in die Urne zurücklegt? |
Hallo, also ich versteh echt nur Bahnhof.
Ich hab mir das so gedacht: Vielleicht sollte ich nen Malkreuz machen... Aber ich bin wirklich was verzweifelt, könnte mir da einer ne Starthilfe geben?
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Do 07.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Hallo, also ich versteh echt nur Bahnhof.
Nana. Wann sind denn zwei Ereignisse $A,B_$ unabhaengig?
Beachte: [mm] $A=(X_1=1)$ [/mm] und [mm] $B=(X_2=1)$ [/mm] *sind* Ereignisse.
>
> Ich hab mir das so gedacht: Vielleicht sollte ich nen
> Malkreuz machen...
Was'n das?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Do 07.01.2010 | | Autor: | durden88 |
Ich kann Abhängigkeit von zwei Ereignissen ausrechnen:
Wenn ich $P(a)_$ habe und $P(b)_$ dann muss ich schauen ob [mm] $P(a\cap [/mm] b) = P(a)*P(b)$
Aber bei dieser Aufgabe?! hmm
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Hallo durden,
Es gibt zwei "Ebenen" bei dieser Aufgabe:
1. Die Anschauliche: [mm] X_{1} [/mm] = 1, wenn die 1. Kugel schwarz ist;
und [mm] X_{1} [/mm] = 0, wenn die 1. Kugel weiß ist.
Mit anderen Worten: An [mm] X_{1} [/mm] kannst du konkret ablesen, ob im ersten Zug eine schwarze oder weiße Kugel gezogen wurde.
Ist dann der Wert von [mm] X_{2} [/mm] noch ein Geheimnis, wenn wir den Wert von [mm] X_{1} [/mm] wissen, also welche Kugel noch im Behälter ist?
--> Nein! Also sind [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2} [/mm] stochastisch abhängig!
(Denn stochastische Unabhängigkeit von [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2} [/mm] bedeutet anschaulich, dass es überhaupt nichts nützt, den Wert von [mm] X_{1} [/mm] zu kennen, wenn man etwas über den Wert von [mm] X_{2} [/mm] aussagen will).
2. Rechnerisch: Jetzt musst du dein anschauliches Wissen nur noch auf die Formeln übertragen: Wir wissen jetzt schon, dass es mit den Ereignissen A = [mm] (X_{1} [/mm] = 1) und B = [mm] (X_{2} [/mm] = 1) [Vorschlag von luis, bedeutet anschaulich, dass in beiden Zügen eine schwarze Kugel gezogen wird, was natürlich absurd ist] Probleme geben wird.
Für stochastische Unabhängigkeit zweier diskreter Zufallsvariablen [mm] X_{1},X_{2} [/mm] muss gelten:
[mm] $P(X_{1} [/mm] = [mm] k_{1},X_{2} [/mm] = [mm] k_{2}) [/mm] = [mm] P(X_{1} [/mm] = [mm] k_{1})*P(X_{2} [/mm] = [mm] k_{2})$.
[/mm]
Setzen wir nun aber eben mal [mm] k_{1} [/mm] = [mm] k_{2} [/mm] = 1 ein, so steht da:
[mm] $P(X_{1} [/mm] = [mm] 1,X_{2} [/mm] = 1) = [mm] P(X_{1} [/mm] = [mm] 1)*P(X_{2} [/mm] = 1)$
Die linke Seite ist nun aber 0, die rechte Seite hingegen [mm] \frac{1}{2}*\frac{1}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{4}.
[/mm]
Widerspruch zur stochastischen Unabhängigkeit von [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2}.
[/mm]
Nun kannst du selbst überlegen, wie es sich verhält, wenn man die Kugeln wieder zurücklegt.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Sa 09.01.2010 | | Autor: | durden88 |
> Hallo durden,
>
> Es gibt zwei "Ebenen" bei dieser Aufgabe:
>
> 1. Die Anschauliche: [mm]X_{1}[/mm] = 1, wenn die 1. Kugel schwarz
> ist;
> und [mm]X_{1}[/mm] = 0, wenn die 1. Kugel weiß ist.
>
> Mit anderen Worten: An [mm]X_{1}[/mm] kannst du konkret ablesen, ob
> im ersten Zug eine schwarze oder weiße Kugel gezogen
> wurde.
Super hab ich verstanden
> Ist dann der Wert von [mm]X_{2}[/mm] noch ein Geheimnis, wenn wir
> den Wert von [mm]X_{1}[/mm] wissen, also welche Kugel noch im
> Behälter ist?
Also wenn ich z.b. schwarz gezogen habe, weiss ich das da eine schwarze weniger drin ist?
> --> Nein! Also sind [mm]X_{1}[/mm] und [mm]X_{2}[/mm] stochastisch
> abhängig!
Leichte verständnisschwieirigkeit....:(
> (Denn stochastische Unabhängigkeit von [mm]X_{1}[/mm] und [mm]X_{2}[/mm]
> bedeutet anschaulich, dass es überhaupt nichts nützt, den
> Wert von [mm]X_{1}[/mm] zu kennen, wenn man etwas über den Wert von
> [mm]X_{2}[/mm] aussagen will).
>
> 2. Rechnerisch: Jetzt musst du dein anschauliches Wissen
> nur noch auf die Formeln übertragen: Wir wissen jetzt
> schon, dass es mit den Ereignissen A = [mm](X_{1}[/mm] = 1) und B =
> [mm](X_{2}[/mm] = 1) [Vorschlag von luis, bedeutet anschaulich, dass
> in beiden Zügen eine schwarze Kugel gezogen wird, was
> natürlich absurd ist] Probleme geben wird.
>
> Für stochastische Unabhängigkeit zweier diskreter
> Zufallsvariablen [mm]X_{1},X_{2}[/mm] muss gelten:
>
> [mm]P(X_{1} = k_{1},X_{2} = k_{2}) = P(X_{1} = k_{1})*P(X_{2} = k_{2})[/mm].
>
> Setzen wir nun aber eben mal [mm]k_{1}[/mm] = [mm]k_{2}[/mm] = 1 ein, so
> steht da:
>
> [mm]P(X_{1} = 1,X_{2} = 1) = P(X_{1} = 1)*P(X_{2} = 1)[/mm]
>
> Die linke Seite ist nun aber 0, die rechte Seite hingegen
> [mm]\frac{1}{2}*\frac{1}{2}[/mm] = [mm]\frac{1}{4}.[/mm]
Was bedeutet konkret diese linke Seite([mm][mm] P(X_{1} [/mm] = [mm] 1,X_{2} [/mm] = 1))? Ist das das geschnitten und wieso ist das dann 0?
> Widerspruch zur stochastischen Unabhängigkeit von [mm]X_{1}[/mm]
> und [mm]X_{2}.[/mm]
>
> Nun kannst du selbst überlegen, wie es sich verhält, wenn
> man die Kugeln wieder zurücklegt.
>
> Grüße,
> Stefan
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Turis |
Hallo,
ich glaube
[mm] P(X_{1}=1, X_{2}=1)=1/3 [/mm] und nicht Null, was aber dennoch der Aufgabe nützen würde.
So wie ich die Aufgabe verstehe gibt es doch die Möglichkeiten (S,W), (S,S) und (W,S) beim Ziehen.
[mm] X_{1} [/mm] ist also 1 in den Fällen (S,W) und (S,S), sonst 0.
[mm] X_{2} [/mm] ist 1 wenn (S,S) und (W,S), sonst 0.
Der Schnitt von {(S,W),(S,S)} und {(S,S),(W,S)} ist aber (S,S), also ist eben die Wahrscheinlichkeit oben 1/3.
Die einzelnen WTs sind jeweils aber 2/3 und 2/3*2/3=4/9 was ja nicht 1/3 ist.
Oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden?
Grüße
EDIT: Ah, ich glaube du meintest nicht k=1 sondern k=0, weil dann haben wir das Problem dass [mm] 0\not=1/4, [/mm] was dann die Abhängigkeit zeigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:33 So 10.01.2010 | | Autor: | durden88 |
!!!!! SO hab ich das auch! dankeschön
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