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| Aufgabe | | Es sei [mm] (U_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine reelle Folge die gegen l [mm] \in \IR [/mm] konvergiert. Zeige, dass {l} [mm] \cup \{U_n,n\in\IN\} [/mm] abgeschlossen ist. |
Hallo,
ich weiß hier nicht so ganz wie ich das zeigen soll. Ich weiß auch nicht wie ich hier mit dem Grenzwert argumentieren kann, weil ich ja nur die Folge [mm] U_n [/mm] hab. Wie genau setz ich denn da an und was ist meine Bedingung dafür, dass die Folge abgeschlossen ist?
Schon mal vielen Dank
lg
chrissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Sa 07.11.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo,
schau mal in deine Definitionen: Wann ist eine Zahlenmenge abgeschlossen?
Genau diese Bedingung musst du zeigen.
Gib dir eine reelle Zahl x vor und nimm an, dass es ein H.... der Folge (zzgl. 1) ist. Nimm weiter an, dass x nicht in der Folge zzgl. 1 enthalten ist. Dann muss in jeder Umgebung von x ein Folgenglied (zzgl.1) liegen, dann müssen aber in jeder Umgebung von x auch unendlich viele Folgenglieder liegen (warum?). Da U gegen 1 konvergiert liegen aber fast alle Glieder der Folge in jeder Umgebung von 1. Wegen $1 [mm] \neq [/mm] x$ lassen sich disjunkte Umgebungen um 1 bzw x angeben. Dann können aber in der um x konstruierten Umgebung nur noch endlich viele Elemente liegen... Widerspruch, Annahme war also falsch...
Das musst du jetzt noch ausarbeiten, d.h. ausführlich begründen 
LG
Will
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