Abgeschlossene Mengen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige:
Sind A und B abgeschlossene Mengen so ist A [mm] \cup [/mm] B und A [mm] \cap [/mm] B auch abgeschlossen. |
Abgeschlossene Mengen haben wir so definiert, dass sie ihre Randpunkte beinhalten.
A und B abgeschlossene Mengen
A= [mm] \delta [/mm] A + [mm] A^o
[/mm]
B= [mm] \delta [/mm] B + [mm] B^o
[/mm]
A [mm] \cup [/mm] B = [mm] \delta [/mm] A [mm] +A^o \cup \delta [/mm] B [mm] +B^o
[/mm]
Wie zeige ich dass denn?
[mm] \delta [/mm] A.. Menge der Randpunkte von A
[mm] A^o...innere [/mm] Punkte von A. "Das innere" von A
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Hallo,
> Zeige:
> Sind A und B abgeschlossene Mengen so ist A [mm]\cup[/mm] B und A
> [mm]\cap[/mm] B auch abgeschlossen.
> Abgeschlossene Mengen haben wir so definiert, dass sie
> ihre Randpunkte beinhalten.
> A und B abgeschlossene Mengen
> A= [mm]\delta[/mm] A + [mm]A^o[/mm]
> B= [mm]\delta[/mm] B + [mm]B^o[/mm]
> A [mm]\cup[/mm] B = [mm]\delta[/mm] A [mm]+A^o \cup \delta[/mm] B [mm]+B^o[/mm]
>
> Wie zeige ich dass denn?
Ein einfacher Weg ist, die Komplemente zu betrachten und deren Offenheit zu zeigen.
Sei [mm] x\in (A\cup B)^c, [/mm] dann folgt [mm] x\in A^c [/mm] und [mm] x\in B^c [/mm] ...
Sei [mm] x\in (A\cap B)^c, [/mm] dann folgt [mm] x\in A^c [/mm] oder [mm] x\in B^c [/mm] ...
>
> [mm]\delta[/mm] A.. Menge der Randpunkte von A
> [mm]A^o...innere[/mm] Punkte von A. "Das innere" von A
LG
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Hei,danke
A, B ist abgeschlossen
[mm] A^c [/mm] = [mm] (A^c)^o
[/mm]
[mm] B^c [/mm] = [mm] (B^c)^o
[/mm]
> Sei $ [mm] x\in (A\cup B)^c, [/mm] $ dann folgt $ [mm] x\in A^c [/mm] $ und $ [mm] x\in B^c [/mm] $ ... x [mm] \in (A^c)^o \cup (B^c)^o [/mm] => Vereinigung offener mengen= offen
> Sei $ [mm] x\in (A\cap B)^c, [/mm] $ dann folgt $ [mm] x\in A^c [/mm] $ oder $ [mm] x\in B^c [/mm] $ ... x [mm] \in
[/mm]
[mm] (A^c)^o \cap (B^c)^o [/mm] => Durchschnitt offener mengen= offen.
So okay?
[mm] A^o [/mm] ist das innere von A
Zu unseren definition:
x heißt innerer Punkt von A genau dann, wenn es eine $ [mm] "\varepsilon-Umgebung [/mm] $ von x gibt, die ganz in A liegt, d.h. $ [mm] \exits \varepsilon [/mm] $ > 0 sodass $ [mm] U_\varepsilon [/mm] $ (x) $ [mm] \subseteq [/mm] $ A. Die Menge der inneren Punkte von A (das Innere von A) wird mit $ [mm] A^o [/mm] $ bezeichnet.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:38 So 26.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hei,danke
>
> A, B ist abgeschlossen
> [mm]A^c[/mm] = [mm](A^c)^o[/mm]
> [mm]B^c[/mm] = [mm](B^c)^o[/mm]
>
> > Sei [mm]x\in (A\cup B)^c,[/mm] dann folgt [mm]x\in A^c[/mm] und [mm]x\in B^c[/mm] ...
> x [mm]\in (A^c)^o \cup (B^c)^o[/mm] => Vereinigung offener mengen=
> offen
>
> > Sei [mm]x\in (A\cap B)^c,[/mm] dann folgt [mm]x\in A^c[/mm] oder [mm]x\in B^c[/mm] ...
> x [mm]\in[/mm]
> [mm](A^c)^o \cap (B^c)^o[/mm] => Durchschnitt offener mengen=
> offen.
>
> So okay?
naja... Du hast sicher richtige Gedankengänge, aber musst lernen, die zu sortieren, und vor allem, alles mal sauber aufzuschreiben:
Beispiel:
Wir wollen zeigen, dass die Abgeschlossenheit von [mm] $A\,$ [/mm] und die Abgeschlossenheit von [mm] $B\,$ [/mm] die von $A [mm] \cup [/mm] B$ impliziert:
Weil nach Voraussetzung [mm] $A=\overline{A}$ [/mm] und [mm] $B=\overline{B}$ [/mm] gilt, folgt, da eine Menge genau dann abgeschlossen ist, wenn das Komplement offen ist, sofort
[mm] $$A^c=(A^c)^o$$
[/mm]
und
[mm] $$B^c=(B^c)^o\,.$$
[/mm]
(Das hast Du vollkommen korrekt erkannt!)
Wie in einer anderen Aufgabe gezeigt (da habe ich Dir geantwortet, deswegen weiß ich das!), ist der Schnitt zweier (allgemein: endlich vieler!) offener Mengen offen, also folgt auch
[mm] $$(\star)\;\;\;A^c \cap B^c=(A^c \cap B^c)^o\,.$$
[/mm]
Nach de Morgan ist aber [mm] $(A^c \cap B^c)=(A \cup B)^c\,,$ [/mm] so dass [mm] $(\star)$ [/mm] nichts anderes besagt, als dass $(A [mm] \cup B)^c$ [/mm] offen ist - und damit ist $A [mm] \cup [/mm] B$ als abgeschlossen erkannt:
Es gilt also
$$A [mm] \cup B=\overline{A \cup B}\,,$$
[/mm]
da eine Menge, wie bereits erwähnt, genau dann abgeschlossen ist, wenn ihr Komplement offen ist!
Und analog kannst Du ja mal versuchen, zu zeigen, dass $A [mm] \cap [/mm] B$ abgeschlossen ist, wenn [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] dies sind.
Tipp:
De Morgan: $(A [mm] \cap B)^c=A^c \cup B^c$ [/mm] benutzen! (Erinnerung: Vereinigungen beliebig vieler offener Mengen sind offen!)
Gruß,
Marcel
> [mm]A^o[/mm] ist das innere von A
> Zu unseren definition:
> x heißt innerer Punkt von A genau dann, wenn es eine
> [mm]"\varepsilon-Umgebung[/mm] von x gibt, die ganz in A liegt, d.h.
> [mm]\exits \varepsilon[/mm] > 0 sodass [mm]U_\varepsilon[/mm] (x) [mm]\subseteq[/mm]
> A. Die Menge der inneren Punkte von A (das Innere von A)
> wird mit [mm]A^o[/mm] bezeichnet.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 So 26.02.2012 | | Autor: | theresetom |
Danke, hab ich gut verstanden
lg, schönen sonntag
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