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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Mo 13.07.2009 | | Autor: | inris |
| Aufgabe | a) Man bestimme alle abelschen Grupen der Ordnung 108.
c) Haben alle Gruppen der Liste a) [mm] \IZ4 [/mm] als homomorphes Bild? |
Hallo,
also Aufgabe a) war kein Problem:
1. Z2 x Z2 x Z3 x Z3 x Z3
2. Z2 x Z2 x Z3 x Z9
3. Z2 x Z2 x Z27
4. Z4 x Z27
5. Z4 x Z3 x Z9
6. Z4 x Z3 x Z3 x Z3
Aufgabe b) bereitet mir allerding Kopfzerbrechen!
Wir hatten ein Beispiel in einer Übung, ob Z8 homomorphes Bild von Z4 x Z4 ist. Der Beweis war auch nachvollziehbar:... Es gilt dann in Z4 (man stelle sich nun bitte die waagerechten Striche über den Buchstaben und nullen vor): (x,y)+(x,y)+(x,y)+(x,y)= (x+x+x+x+y+y+y+y) = (4x,4y)=(0,0) => f((x,y))+ f((x,y))+ f((x,y))+ f((x,y)) = f((x,y)+(x,y)+(x,y)+(x,y)) = f((0,0)) = 0 => a+a+a+a = o und das ist dann ein Widerspruch zu dem Erzeuger von Z8, da nicht viermal, sondern achtmal a 0 sein müsste.
Nun ist mein Problem, wie ich bzw. ob ich so ein Beweis auf meine Aufgabe übertragen kann/soll?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=394787&hilight=homomorphes+bild
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Mo 13.07.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> a) Man bestimme alle abelschen Grupen der Ordnung 108.
> c) Haben alle Gruppen der Liste a) [mm]\IZ4[/mm] als homomorphes
> Bild?
> also Aufgabe a) war kein Problem:
> 1. Z2 x Z2 x Z3 x Z3 x Z3
> 2. Z2 x Z2 x Z3 x Z9
> 3. Z2 x Z2 x Z27
> 4. Z4 x Z27
> 5. Z4 x Z3 x Z9
> 6. Z4 x Z3 x Z3 x Z3
Sehr schön!
> Aufgabe b) bereitet mir allerding Kopfzerbrechen!
>
> Wir hatten ein Beispiel in einer Übung, ob Z8 homomorphes
> Bild von Z4 x Z4 ist. Der Beweis war auch
> nachvollziehbar:... Es gilt dann in Z4 (man stelle sich nun
> bitte die waagerechten Striche über den Buchstaben und
> nullen vor): (x,y)+(x,y)+(x,y)+(x,y)= (x+x+x+x+y+y+y+y) =
> (4x,4y)=(0,0) => f((x,y))+ f((x,y))+ f((x,y))+ f((x,y)) =
> f((x,y)+(x,y)+(x,y)+(x,y)) = f((0,0)) = 0 => a+a+a+a = o
> und das ist dann ein Widerspruch zu dem Erzeuger von Z8, da
> nicht viermal, sondern achtmal a 0 sein müsste.
Das ist für jdn., der schon im Hauptstudium ist, ziemlich schlecht aufgeschrieben. Z8 hat einen Erzeuger a, der Bild eines Elementes x [mm] \in [/mm] Z4 [mm] \times [/mm] Z4 sein muß. Aber das funktioniert nicht, weil 4x = 0 ist und das dann auch für das Bild von x gilt.
> Nun ist mein Problem, wie ich bzw. ob ich so ein Beweis auf
> meine Aufgabe übertragen kann/soll?
Ja, das genau ist dein Problem. Gibt es in deinem Beispiel 1 ein Element der Ordnung 4?
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?
> threadid=394787&hilight=homomorphes+bild
Das kommt hier nicht so super an.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mo 13.07.2009 | | Autor: | inris |
Also, die Lösung der Übungaufgabe habe ich aus der Übung selbst, also von der Übungsleiterin. Das es nicht so "schön" ist liegt wahrscheinlich daran, dass sie selbst nie Algebra bis zu der Zeit an der UNi hatte. Zum anderen studiere ich auf Lehramt f. Realschule und somit auf einem anderen Level als Diplom-Math.
Zu meiner Frage und deiner Antwort, heißt das also, dass nur [mm] \IZ4 [/mm] die Fälle 4.-6. als homomorphes Bild haben, da die anderen Fälle kein Element der Ordnung 4 haben! Das macht Sinn 
Bei einem Widerspruchsbeweis für Punkt drei, dann würde (x,y) aus der Gruppe existieren...aber ich kann ja nicht zum Schluss kommen, dass 2a=0 und Widerspruch zu 4a=0. Denn das wäre Blödsinn, aber ich komm trotzdem nicht drauf, wie ich das auf den "schönen" Beweis übertragen kann (wenn es überhaupt geht)....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:46 Di 14.07.2009 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
Also ist die Antwort auf c) nein. Teil b) gibt es in deiner Aufgabe nicht, und was Punkt 3 sein soll, weiß ich nicht. Genauigkeit im Ausdruck ist Bestandteil der Mathematik.
Was nun?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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