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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Do 19.11.2009 | | Autor: | Goth |
| Aufgabe | | Sei (G, ·) eine Gruppe mit 3 Elementen. Zeigen Sie: G ist abelsch. |
Wie genau kann man das zeigen?
Offensichtlich muss man zeigen, dass die Multiplikationen der Elemente nicht aus der Gruppe führen, aber es scheitert daran, welche "Fälle" genau untersucht werden müssen.
Bisher habe ich das:
a*e=a,
b*e=b,
c*e=c,
a^-1*e=a^-1,
b^-1*e=b^-1,
c^-1*e=c^-1,
a*a^-1=a^-1*a,
b*b^-1=b^-1*b,
c*c^-1=c^-1*c.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei (G, ·) eine Gruppe mit 3 Elementen. Zeigen Sie: G ist
> abelsch.
> Wie genau kann man das zeigen?
Hallo,
da es eine Gruppe sein soll, ist ja eins der Elemente gewiß das neutrale, ich nenne es e.
Wir haben also [mm] G=\{e,a,b\}.
[/mm]
Nun stell die Gruppentafel auf:
[mm] \pmat{\underline{\circ}|&\underline{e}&\underline{a}&\underline{b}\\e|&e& a&b\\a|&...& ...&...\\b|&...& ...&...}
[/mm]
Überlege Dir, daß in jeder Zeile und Spalte jedes Element nur einmal stehen darf.
Betrachte nach dme Ausfüllen der tafel ihre Symmetrie.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Goth |
| Aufgabe | | $ [mm] \pmat{ o & e & a & b \\e & e & a & b \\ a & a & b & e \\ b & b & e & a } [/mm] $ |
Das ist dann symmetrisch bzgl. der Diagonalen und deswegen abelsch?
(ae=a=ea, be=b=eb, ab=e=ba)
Würde das als ein "Zeigen Sie, dass..." reichen?
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> [mm]\pmat{ o & e & a & b \\e & e & a & b \\ a & a & b & e \\ b & b & e & a }[/mm]
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> Das ist dann symmetrisch bzgl. der Diagonalen und deswegen
> abelsch?
> (ae=a=ea, be=b=eb, ab=e=ba)
> Würde das als ein "Zeigen Sie, dass..." reichen?
Hallo,
zusammen mit der Begründung dafür, daß die gruppentafel gar nicht anders aussehen kann: ja.
Gruß v. Angela
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