Abelsche Gruppe < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei (G, °, e) eine Gruppe, so dass für jedes g [mm] \in [/mm] G: g°g = e. Zeigen Sie: G ist abelsch. Hinweis: Das geht in zwei Zeilen |
Ich muss ja jetzt zeigen, dass "°" kommtativ ist. Aber wie zeige ich das am besten?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Sei (G, °, e) eine Gruppe, so dass für jedes g [mm]\in[/mm] G: g°g =
> e. Zeigen Sie: G ist abelsch. Hinweis: Das geht in zwei
> Zeilen
> Ich muss ja jetzt zeigen, dass "°" kommtativ ist. Aber wie
> zeige ich das am besten?
Hallo,
ich hatte immer Zweifel, ob es wirklich stimmt, aber jetzt bin ich mir sicher - wenn ein Mathematikprofessor das nicht lösen kann, liegt das Bildungssystem danieder und das Enda des Abendlandes ist nahe.
Also, wenn jedes Element mit sich selbst multipliziert das neutrale ergibt, gilt das auch für (ab) [mm] \in [/mm] G, [mm] a,b\in [/mm] G.
Daraus ergibt sich alles.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hä??? Sorry, kannst du mir das nochmal ein bisschen deutlicher erklären?
|
|
|
| |
|
> Hä??? Sorry, kannst du mir das nochmal ein bisschen
> deutlicher erklären?
Lt. Voraussetzung ist Deine Gruppe [mm] (G,\circ) [/mm] so beschaffen, daß für alle Elemente g der Gruppe gilt: [mm] g\circ [/mm] g=e.
Du willst zeigen: für alle [mm] a,b\in [/mm] G gilt [mm] a\circ b=b\circ [/mm] a.
Wenn a,b [mm] \in [/mm] G, so ist auch [mm] a\circ [/mm] b ein Element aus G.
Nun sollst Du die Voraussetzung, daß jedes Element mit sich selbst verknüpft, das neutrale ergibt, anwenden auf [mm] a\circ [/mm] b.
Was steht dann da?
Durch Anwenden der in Gruppen gültigen Gesetze erhältst Du hieraus das Ergebnis.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Ok, danke! Ich hab das jetzt gemacht:
(a°b)°(a°b)=e=(b°a)°(b°a)
[mm] \Rightarrow [/mm] (a°b)°(a°b)=b°(a°b)°a
[mm] \Rightarrow [/mm] (a°b) = (b°a)
Darf ich so kürzen?
|
|
|
| |
|
> Ok, danke! Ich hab das jetzt gemacht:
>
> (a°b)°(a°b)=e=(b°a)°(b°a)
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a°b)°(a°b)=b°(a°b)°a
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a°b) = (b°a)
>
> Darf ich so kürzen?
Hallo,
nein, das darfst Du nicht. Nach welchem Gesetz sollte das gehen?
Du machst es Dir aber auch zu kompliziert.
Mach's doch so :
e=(a°b)°(a°b)
= [mm] a\circ (b\circ a)\circ [/mm] b (Assoziativgesetz).
Nun multipliziere [mm] e=a\circ (b\circ a)\circ [/mm] b von vorne (auf beiden Seiten natürlich) mit a, und anschließend v. hinten mit b.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
