Abelisierung der symm. Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechne Kommutatorgruppe und Abelisierung der symmetrischen Gruppe [mm] $\operatorname{Sym}X$ [/mm] über einer Menge $X$, welche alle Permutationen von $X$ enthält. |
Hallo zusammen,
Falls $X$ eine endliche Menge ist, kann man leicht zeigen, dass die Kommutatorgruppe genau die geraden Permutationen enthält und dass daher die Abelisierung der symmetrischen Gruppe durch die Gruppe der Ordnung 2 gegeben ist; siehe etwa hier.
Für unendliche Permutationsgruppen lassen sich Schritt 2. und Schritt 4. eventuell nicht übertragen, falls doch ist mir nicht klar, wie das gehen soll.
Falls jemand Ideen hat, immer her damit!
Vielen Dank und
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Mi 07.05.2014 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
Ich nehme mal vorsichtshalber an dass X abzählbar ist.
> Berechne Kommutatorgruppe und Abelisierung der
> symmetrischen Gruppe [mm]\operatorname{Sym}X[/mm] über einer Menge
> [mm]X[/mm], welche alle Permutationen von [mm]X[/mm] enthält.
> Hallo zusammen,
>
> Falls [mm]X[/mm] eine endliche Menge ist, kann man leicht zeigen,
> dass die Kommutatorgruppe genau die geraden Permutationen
> enthält und dass daher die Abelisierung der symmetrischen
> Gruppe durch die Gruppe der Ordnung 2 gegeben ist; siehe
> etwa hier.
>
> Für unendliche Permutationsgruppen lassen sich Schritt 2.
> und Schritt 4. eventuell nicht übertragen, falls doch ist
> mir nicht klar, wie das gehen soll.
>
Du hast recht. Wenn X unendlich ist, existiert keine Fortsetzung der Signumfunktion nach Sym(X). Tatsächlich ist jedes Element aus Sym(X) ein Kommutator. Dies wird in einem älteren Paper von Ore (?) bewiesen, an dessen Titel ich mich nicht mehr erinnere. Vielleicht googelst du mal ein wenig danach.
Anders verhält es sich bei der Untergruppe FS(X) (englisch: finitary symmetric group) von Sym(X) bestehend aus den Permutationen, welche bis auf endlich viele alle Punkte aus X fixieren. (diese kann man auch auffassen als direkten Limes der endlichen symmetrischen Gruppen)
Hier kann man deine Argumentation anwenden, dh die finitary alternating group ( was ist hier wohl der deutsche Begriff?) ist die Kommutatoruntergruppe von FS(X).
Viele Grüße,
Berieux
> Falls jemand Ideen hat, immer her damit!
>
> Vielen Dank und
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Mi 07.05.2014 | | Autor: | Berieux |
Der Titel der Arbeit lautet: "Some remarks on commutators" und ist online frei verfügbar.
Was dort bewiesen wird (nämlich dass jedes Element aus Sym(X) ein Kommutator ist), ist natürlich stärker als die Aussage dass Sym(X) von Kommutatoren erzeugt wird (was du ja eigentlich zeigen willst).
Letztere Aussage ist unter Umständen leichter zu beweisen. Du kannst ja mal überlegen ob es einen kurzen Beweis gibt. Daran wäre ich auch interessiert. Ich werde mich daran auch mal versuchen sobald ich fertig gegessen habe.
Viele Grüße,
berieux
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Hallo Berieux,
Vielen Dank schonmal für deine Mithilfe! Ich bin nicht wirklich Algebraiker (ok, eigentlich bin ich gar nichts, aber wenn dann fühle ich mich da wohl, wo es strukturell zugeht (Kategorien)), darum weiß ich nicht, inwiefern ich dem Ganzen gewachsen bin.
Du nimmst am Anfang an, dass $ [mm] X\cong\IN [/mm] $. Beziehst du dich im folgenden darauf oder gilt das alles für beliebige unendliche Mengen?
Der Teil zur [mm] $\operatorname {Sym}_{\operatorname {fin}} [/mm] X$ (dict.cc schlägt "finitistisch" vor, allerdings kommt mir das auch etwas spanisch vor) lässt sich übrigens auch auf die endlichen Permutationsgruppen zurückführen, da die Abelisierung linksadjungiert ist und daher mit Kolimites kommutiert.
Ich weiß nicht, wie viel Zeit ich habe, bis Freitag nachzudenken und danach bin ich auf Klassenfahrt für eine Woche. Spätestens danach werde ich mir noch einmal Gedanken machen, aber vielleicht wird es ja die nächsten Tage schon was (langweilige Schulstunden gibt es ja genug  ).
Vorab noch eine Frage: Weißt du, inwiefern sich die Quotienten der symmetrischen Gruppe klassifizieren lassen? Wenn die Situation ähnlich einfach wie im endlichen Fall bleibt, könnte man eventuell via Ausschlussverfahren und universeller Eigenschaft vorgehen. Allerdings gibt es ja mindestens schonmal die "finitistische" symmetrische und alternierende Gruppe als Normalteiler.
EDIT: Derartige Permutationen sind solche, die strikt weniger als [mm] $\aleph_0$ [/mm] Punkte bewegen. Dasselbe sollte für jede unendliche Kardinalzahl funktionieren. Vielleicht ist dieser Ansatz doch nicht so geschickt (insbesondere ist mir nicht einmal klar, wie die Quotienten nach diesen Untergruppen aussehen). Obwohl ohne näher nachgedacht zu haben, eine von den letztgenannten Gruppen vermutlich relativ leicht auszuschließen sein dürfte.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Mi 07.05.2014 | | Autor: | Berieux |
> Hallo Berieux,
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> Vielen Dank schonmal für deine Mithilfe! Ich bin nicht
> wirklich Algebraiker (ok, eigentlich bin ich gar nichts,
> aber wenn dann fühle ich mich da wohl, wo es strukturell
> zugeht (Kategorien)), darum weiß ich nicht, inwiefern ich
> dem Ganzen gewachsen bin.
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> Du nimmst am Anfang an, dass [mm]X\cong\IN [/mm]. Beziehst du dich
> im folgenden darauf oder gilt das alles für beliebige
> unendliche Mengen?
>
Ehrlich gesagt wollte ich einfach nicht darüber nachdenken ob es komplizierter wird wenn man das nicht annimmt. ;)
Die Aussage dass Sym(X) seine eigene Kommutatorgruppe ist, stimmt glaube ich auch ohne diese Annahme. (sah zumindest so aus als ich vorhin das Ore-paper überflogen habe) Es ist aber eine Weile her seit ich zuletzt darüber intensiv etwas gelesen habe. Von daher hab ich mich auf den Fall beschränkt bei dem ich mir sicher war.
> Der Teil zur [mm]\operatorname {Sym}_{\operatorname {fin}} X[/mm]
> (dict.cc schlägt "finitistisch" vor, allerdings kommt mir
> das auch etwas spanisch vor) lässt sich übrigens auch auf
> die endlichen Permutationsgruppen zurückführen, da die
> Abelisierung linksadjungiert ist und daher mit Kolimites
> kommutiert.
>
Linksadjungiert zum Vergissfunktor von Ab zu Grp meinst du. Ja, so kann man das natürlich machen.
> Ich weiß nicht, wie viel Zeit ich habe, bis Freitag
> nachzudenken und danach bin ich auf Klassenfahrt für eine
> Woche. Spätestens danach werde ich mir noch einmal
> Gedanken machen, aber vielleicht wird es ja die nächsten
> Tage schon was (langweilige Schulstunden gibt es ja genug
> ).
>
> Vorab noch eine Frage: Weißt du, inwiefern sich die
> Quotienten der symmetrischen Gruppe klassifizieren lassen?
> Wenn die Situation ähnlich einfach wie im endlichen Fall
> bleibt, könnte man eventuell via Ausschlussverfahren und
> universeller Eigenschaft vorgehen. Allerdings gibt es ja
> mindestens schonmal die "finitistische" symmetrische und
> alternierende Gruppe als Normalteiler.
>
Also wenn X abzählbar ist, sind die einzigen nichttrivialen normalen Untergruppen [mm]A_{\infty} und S_{\infty}[/mm] (also die finitistische symmetrische bzw. alternierende Gruppe).
Wenn man das weiß, ist natürlich deine ursprüngliche Frage zur Abelisierung sehr leicht zu beantworten. Man muss einfach einen Kommutator konstruieren der nicht in [mm]S_{\infty}[/mm] liegt, was nicht schwierig sein sollte. Ich würde aber vermuten, dass die Klassifizierung der Untergruppen schwieriger ist, als zu beweisen dass die Abelisierung trivial ist.
Wenn X überabzählbar ist kommen glaube ich noch mehr Normalteiler dazu.
Leider kann ich dir hierzu keine Literaturhinweise geben; diese sollten sich aber auch in dem Ore-paper finden.
Viele Grüße,
Berieux
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
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Sei $ F $ die freie Gruppe über einem Erzeuger $ h $ und $ X$ die $ F $ zugrundeliegende Menge. Ich möchte zeigen dass [mm] $\operatorname [/mm] {Sym} X $ (und damit die symmetrische Gruppe über jeder abzählbaren Menge) triviale Abelisierung hat.
Sei $ f $ der Automorphismus von $ X $, welcher jedes Element invertiert und $ g $ der Automotphismus,, welches jedes Element mit $ h $ multiplizuert.
Dann ist $ [mm] fgf^{-1} g^{-1} [/mm] $ die Abbildung, welche jedes Element zweimal mit $ [mm] h^{-1} [/mm] $ multipliziert. Diese besitzt offenbar keinen Fixounkt.
Wenn ich zeigen kann, dass die symmetrische Gruppe über $ X$ als Normalteiler von den finitistischen Permutationen und obiger fixpunktfreier Permutation erzeugt wird, bin ich fertig.
Edit: Mist, aus versehen abgesendet, ich schreibe noch weiter.
Edit2: Ich bin gerade ziemlich unkonzentriert, morgen geht es weiter. Gute Nacht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:29 Do 08.05.2014 | | Autor: | Berieux |
Ja, also ich seh nicht ganz wie das gehen soll. Man kann wohl mit der Brechstange zeigen, dass jeder Zykel in der Kommutatorgruppe liegt. Man konstruiere sich hierzu irgendeinen unendlichen Zykel der als Kommutator darstellbar ist. (ich habe das jetzt aus Lustlosigkeit mal gelassen; vielleicht versuche ich das morgen konkret zu machen)
Zykel gleicher Länge sind zueinander konjugiert. Damit liegen dann alle unendlichen Zykel in der Kommutatorgruppe.
Problematisch sind aber unendliche Produkte von Zykeln verschiedener Länge. Und mit denen weiß ich gerad nichts anzufangen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 09.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo nochmal,
meine Idee hat leider nicht funktioniert. Ich habe meine Frage noch einmal auf ![[]](/images/popup.gif) math.stackexchange gestellt, aber leider auch dort keine Antwort bekommen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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