Abbildungen linear? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die nachfolgenden Abbildungen [mm] \IR^{n} \mapsto \IR^{n} [/mm] linear sind und geben Sie ggf. eine Matrix [mm] \vec{y} [/mm] = [mm] A\vec{x} [/mm] an:
a) [mm] y_{k}= \summe_{i=1}^{k} x_{i}, [/mm] k = 1,...,n
b) [mm] y_{1} [/mm] = [mm] \lambda, y_{k+1} [/mm] = [mm] x_{k} [/mm] + [mm] y_{k}, [/mm] k = 1,..., n-1 und [mm] \lambda \in \IR [/mm] |
Hey und ein schönes neues Jahr erstmal ;)
Also die Aufgabe stell ich mir so vor:
Um zu prüfen ob die Abbildungen linear sind muss ja gelten : f(x + y) = f(x) + f(y). Also zur a)
wenn man die in eine Matrix schreiben würde, würde die dann ca so aussehn??
y = [mm] \vektor{x_{1} \\ .. \\ x_{i}}
[/mm]
d.h: [mm] \vektor{x_{1} \\ .. \\ x_{i}} [/mm] + [mm] \vektor{y_{1} \\ .. \\ y_{i}} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} + y_{1}\\ .. \\ x_{i} + y_{i}} [/mm] = f(x+y) und das stimmt, also sind sie dann linear. Kann man das so machen?
|
|
| |
|
Hallo Felix,
> Untersuchen Sie, ob die nachfolgenden Abbildungen [mm]\IR^{n} \mapsto \IR^{n}[/mm]
> linear sind und geben Sie ggf. eine Matrix [mm]\vec{y}[/mm] =
> [mm]A\vec{x}[/mm] an:
>
> a) [mm]y_{k}= \summe_{i=1}^{k} x_{i},[/mm] k = 1,...,n
>
> b) [mm]y_{1}[/mm] = [mm]\lambda, y_{k+1}[/mm] = [mm]x_{k}[/mm] + [mm]y_{k},[/mm] k = 1,...,
> n-1 und [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> Um zu prüfen ob die Abbildungen linear sind muss ja gelten
> : f(x + y) = f(x) + f(y). Also zur a)
Unter anderem! Es muss auch gelten: [mm] f(\lambda*x) [/mm] = [mm] \lambda*f(x) [/mm] für [mm] $\lambda\in [/mm] K$ (hier ist wahrscheinlich K = [mm] \IR).
[/mm]
> wenn man die in eine Matrix schreiben würde, würde die
> dann ca so aussehn??
Im Moment sollst du gar nichts in eine Matrix schreiben. Du sollst erstmal prüfen, ob die Abbildung überhaupt linear ist. Ist dir klar, wie die Abbildung aussieht? So:
$x = [mm] \vektor{x_{1}\\ x_{2}\\x_{3} \\ ... \\ x_{n}}\mapsto \vektor{x_{1}\\ x_{1}+x_{2} \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ ... \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} + ... + x_{n}} [/mm] = y$
Klar?
Tipp: Diese Abbildung ist linear.
Um nun die gesuchte Matrix zu bekommen, solltest du dir den folgenden Satz, den du in ähnlicher Form wahrscheinlich schonmal gehört hast, ins Gedächtnis rufen:
Die Bilder der Einheitsvektoren sind die Spalten der Darstellungsmatrix.
Du musst also nacheinander
[mm] f\left(\vektor{1\\ 0 \\ 0\\ ... \\ 0\\ 0}\right), f\left(\vektor{0\\ 1 \\ 0 \\ ... \\0\\ 0}\right), [/mm] ..., [mm] f\left(\vektor{0\\ 0 \\ 0 \\... \\ 0 \\ 1}\right)
[/mm]
bilden und die Ergebnisvektoren dann nebeneinander in genau der Reihenfolge in eine Matrix schreiben.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
hey :)
Also soweit ist mir alles kla, bis auf eine Sache und zwar wie man die Bilder der Eineitsvektoren berechnet?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> hey :)
>
> Also soweit ist mir alles kla, bis auf eine Sache und zwar
> wie man die Bilder der Eineitsvektoren berechnet?
Na, einfach einsetzen!
Beispiel:
$f((0,0,1,0,...0)) = (0,0,1,1,...,1)$
Ich habe dir doch oben die Funktionsvorschrift mit [mm] x_{k}'s [/mm] aufgeschrieben, du brauchst nun nur für [mm] (x_{1},...,x_{n}) [/mm] = (0,0,1,0,...,0) zu setzen und dann zu schauen, was rauskommt.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Mo 04.01.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
im Teil b der Aufgabe ist zu prüfen ob die Funktion
$ [mm] y_{1} [/mm] $ = $ [mm] \lambda, y_{k+1} [/mm] $ = $ [mm] x_{k} [/mm] $ + $ [mm] y_{k}, [/mm] $ k = 1,..., n-1 und $ [mm] \lambda \in \IR [/mm] $
linear ist.
Also ob f(x) = [mm] \vektor{y_1 \\ .. \\ y_n} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda \\ x_1+\lambda \\ x_1+x_2+\lambda \\ .. \\ x_1+ ... + x_{n-1}+\lambda} [/mm] linear ist.
f(x+z) berechnet sich zu
f(x+z) = [mm] \vektor{\lambda \\ x_1+z_1+\lambda \\ x_1+x_2+z_1+z_2+\lambda \\ .. \\ x_1+ ... + x_{n-1}+z_1+ ... z_{n-1}+\lambda}
[/mm]
und f(x)+f(z) berechnet sich zu
f(x)+f(z) = [mm] \vektor{\lambda \\ x_1+\lambda \\ x_1+x_2+\lambda \\ .. \\ x_1+ ... + x_{n-1}+\lambda}+ \vektor{\lambda \\ z_1+\lambda \\ z_1+z_2+\lambda \\ .. \\ z_1+ ... z_{n-1}+\lambda}
[/mm]
Damit ist klar das die Funktioon nicht linear ist.
mfg ullim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 Mo 04.01.2010 | | Autor: | EdwinMoses |
okay vielen danke für die schnellen antworten. dann werde ich mich mal dran machen.
|
|
|
|
