Abbildungen Injektivität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien A,B,C Mengen und f: A --> B, g:B-->C Abbildungen.
Zeige:
Sind f und g beide injektiv, dann ist auch g [mm] \circ [/mm] f injektiv. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gilt es als bewiesen (bzw. gezeigt) wenn ich für f und g eine beliebige injektive Funktion nehme, (z.b. 2x und 3x+1), diese miteinander verknüpfe, und zeige, dass auch die Verknüpfung injektiv ist?
Oder wie muss man sowas angehen?
Bitte nur Tips und keine Lösungen...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Di 14.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien A,B,C Mengen und f: A --> B, g:B-->C Abbildungen.
> Zeige:
> Sind f und g beide injektiv, dann ist auch g [mm]\circ[/mm] f
> injektiv.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Gilt es als bewiesen (bzw. gezeigt) wenn ich für f und g
> eine beliebige injektive Funktion nehme, (z.b. 2x und
> 3x+1), diese miteinander verknüpfe, und zeige, dass auch
> die Verknüpfung injektiv ist?
>
> Oder wie muss man sowas angehen?
> Bitte nur Tips und keine Lösungen...
Benutze die Definition der Injektivität:
f ist injektiv, wenn aus [mm] $f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)$ [/mm] zwingend [mm] $x_1=x_2$ [/mm] folgt.
Du musst also nachweisen, dass aus [mm] $(g\circ f)(x_2) [/mm] = [mm] (g\circ f)(x_1)$ [/mm] die Identität [mm] $x_1=x_2$ [/mm] folgt.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Danke für die Antwort.
Ich habe heute mit ein paar Kommilitonen noch mal die Aufgabe versuch zu lösen. Wir sind jedoch zu keinem Ergebnis gekommen.
Kann vielleicht jemand die Aufgabe lösen?
Danke...!
|
|
|
| |
|
> Ich habe heute mit ein paar Kommilitonen noch mal die
> Aufgabe versuch zu lösen. Wir sind jedoch zu keinem
> Ergebnis gekommen.
> Kann vielleicht jemand die Aufgabe lösen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
ganz bestimmt kann das jemand - aber so ist das Forum nicht gedacht.
Wie weit seid Ihr denn gekommen?
Rainer hat ja schon gesagt, was zu zeigen ist, daß nämlich aus [mm] (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2) [/mm] folgt, daß [mm] x_1=x_2 [/mm] ist.
Ich mache jetzt mal den Anfang.
Behauptung: aus f: A --> B und g:B-->C beide injektiv folgt, daß [mm] g\circ [/mm] f injekiv ist.
Bew: Seien f und g injektiv und seien [mm] x_1, x_2\in [/mm] A mit
[mm] (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2) [/mm] .
==> ... (Wie ist die Verkettung definiert? Was bedeutet [mm] (g\circ f)(x_1) [/mm] ?)
==> .... (Verwende nun die Injektivität von g)
==> ... (Verwende jetzt die Injektoivität von f)
==> ...
Versuch's mal, und zeige ggf., was Du tust, damit man Dir sinnvoll helfen kann.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
[mm] (g\circ f)(x_1) [/mm] heißt ja [mm] g(f(x_1)). [/mm] Hm...
Mein/Unser Problem ist folgendes:
Hätten wir für A eine Funktion dann wäre alles ohne Probleme lösbar, also anstatt A-->B z.b. x-->2x+3.
Nur wie zeigt man Injektivität wenn man nur Mengen hat?...
Meine Antowrten auf deine Pfeile wären
==> [mm] g(f(x_1))
[/mm]
==> [mm] g(x_1) [/mm] = [mm] g(x_2) [/mm] ==> [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2
[/mm]
==> [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] ==> [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2
[/mm]
dann folgt eventuell:
==> [mm] g(f(x_1)) [/mm] = [mm] g(f(x_2)) [/mm] ==> [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)
[/mm]
Hm, soweit waren wir im Prinzip auch shcon?
Wie geht es dann aber weiter? Bis jetzt ist ja nur die Vorraussetzung gezeigt, was geleten muss, dass g [mm] \circ [/mm] f injektiv ist!?
|
|
|
| |
|
> [mm](g\circ f)(x_1)[/mm] heißt ja [mm]g(f(x_1)).[/mm]
Hallo,
ja, so ist das definiert.
> Hm...
> Mein/Unser Problem ist folgendes:
> Hätten wir für A eine Funktion dann wäre alles ohne
> Probleme lösbar, also anstatt A-->B z.b. x-->2x+3.
> Nur wie zeigt man Injektivität wenn man nur Mengen hat?...
Ihr habt Funktionen! Nämlich f und g.
f:A [mm] \to [/mm] B bedeutet, daß f sämtliche Elemente der Menge A auf solche der Menge B abbildet.
Wie das genau geschieht, bleibt im Dunkeln, aber laut Voraussetzung ja so, daß die Abbildung f injektiv ist.
Für g genauso.
>
> Meine Antowrten auf deine Pfeile wären
> ==> [mm]g(f(x_1))[/mm] [mm] \red{=g(f(x_2))}
[/mm]
Nun mußt Du die Injektivität von g nutzen.
Injektivität bedeutet ja: [mm] g(y_1)=g(y_2) [/mm] ==> [mm] y_1=y_2.
[/mm]
Du hast nun
[mm]g(\underbrace{f(x_1)}_{(=y_1)})[/mm] [mm] =g(\underbrace{f(x_2)}_{(=y_2)}).
[/mm]
Was folgt hieraus?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Mir ist klar, dass daraus [mm] y_1 [/mm] = [mm] y_2 [/mm] folgt.
Ist das dann hinreichend bewiesen?
|
|
|
| |
|
> Mir ist klar, dass daraus [mm]y_1[/mm] = [mm]y_2[/mm] folgt.
>
> Ist das dann hinreichend bewiesen?
Nein, natürlich nicht!
Du willst doch haben:
[mm] (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2) [/mm] ==> [mm] x_1=x_2.
[/mm]
Mit der Überlegung von zuvor bist Du aber erst bei
[mm] (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2) [/mm] ==> [mm] f(x_1)=f(x_2).
[/mm]
Nun mußt Du die vorausgesetze Injektivität von f verwenden.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
[mm] (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2) [/mm] ==> [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] ==> [mm] x_1=x_2 [/mm] ??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Mi 15.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das srimmt zwar, aber wie dus hinschreibst ist da keinerlei Beweis!
Man muss doch die Pfeile einzeln begruenden mit aus..folgt....
Gruss leduart
|
|
|
|
