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| Aufgabe | Für eine Abbildung [mm] $f:X\to{}Y$ [/mm] und [mm] $y\in{}Y$ [/mm] nennt man [mm] $f^{-1}(\{y\})\subset{}X$ [/mm] Faser von $f$ an der Stelle $y$. Die Faser [mm] $f^{-1}(\{y\})$ [/mm] ist also nichts anderes als die Lösungesmenge [mm] $\{x\in X:f(x)=y\} [/mm] der Gleichung $f(x)=y$.
Ist [mm] $x=(x_1,x_2,\dots,x_n)$, [/mm] heißt [mm] $x_j$ [/mm] die $j$-te Komponente von $x$. Sie wird auch mit [mm] $\text{pr}_j(x)$ [/mm] bezeichnet und $j$-te Projektion von $x$ genannt.
Sind [mm] $X_1,\dots,X_n$ [/mm] nichtleere Mengen, so ist jede der Projektionen
[mm] $\text{pr}_k:\prod_{j=1}^n X_j\to X_k,\qquad x=(x_1,\dots,x_n)\mapsto x_k,\qquad k=1,\dots,n$
[/mm]
eine Abbildung.
Man bestimme die Fasern der Projektionen [mm] $\text{pr}_k$. [/mm] |
Hallo zusammen,
mir ist etwas unklar, was hiermit gemeint ist. Wenn ich einfach mechanisch die oben gegebenen Definitionen anwende, erhalte ich
[mm] $\text{pr}_k^{-1}(\{y\})=\{x\in \prod_{j=1}^n:\text{pr}_k(x)=y\}$.
[/mm]
Aber das wird kaum schon die fertige Lösung der Aufgabe sein, oder? Kann man das weiter vereinfachen? Habe ich etwas falsch verstanden?
Wäre nett, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
Liebe Grüße,
[mm] \qquad [/mm] Mathematik-Liebhaber
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Fr 21.12.2012 | | Autor: | hippias |
Das ist schon alles in Ordnung. Vielleicht kannst Du Dir die Menge besser vorstellen, wenn Du ein konkreteres Beispiel untersuchst, z.B. wenn Du versuchst die Faser [mm] $p_{1}^{-1}(1)$ [/mm] bei [mm] $p_{1}:\IR^{2}\to \IR$ [/mm] anzugeben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Sa 22.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Für eine Abbildung [mm]$f:X\to{}Y$[/mm] und [mm]$y\in{}Y$[/mm] nennt man
> [mm]$f^{-1}(\{y\})\subset{}X$[/mm] Faser von $f$ an der Stelle $y$.
> Die Faser [mm]$f^{-1}(\{y\})$[/mm] ist also nichts anderes als die
> Lösungesmenge [mm]$\{x\in X:f(x)=y\}[/mm] der Gleichung $f(x)=y$.
>
> Ist [mm]x=(x_1,x_2,\dots,x_n)[/mm], heißt [mm]x_j[/mm] die [mm]j[/mm]-te Komponente
> von [mm]x[/mm]. Sie wird auch mit [mm]\text{pr}_j(x)[/mm] bezeichnet und [mm]j[/mm]-te
> Projektion von [mm]x[/mm] genannt.
>
> Sind [mm]X_1,\dots,X_n[/mm] nichtleere Mengen, so ist jede der
> Projektionen
> [mm]\text{pr}_k:\prod_{j=1}^n X_j\to X_k,\qquad x=(x_1,\dots,x_n)\mapsto x_k,\qquad k=1,\dots,n[/mm]
>
> eine Abbildung.
>
> Man bestimme die Fasern der Projektionen [mm]\text{pr}_k[/mm].
> Hallo zusammen,
>
> mir ist etwas unklar, was hiermit gemeint ist. Wenn ich
> einfach mechanisch die oben gegebenen Definitionen anwende,
> erhalte ich
>
> [mm]\text{pr}_k^{-1}(\{y\})=\{x\in \prod_{j=1}^n:\text{pr}_k(x)=y\}[/mm].
>
> Aber das wird kaum schon die fertige Lösung der Aufgabe
> sein, oder? Kann man das weiter vereinfachen?
[mm]\text{pr}_k^{-1}(\{y\})=\{(x_1,...,x_n)\in \prod_{j=1}^n X_j:x_k=y\}[/mm].
FRED
Habe ich
> etwas falsch verstanden?
>
> Wäre nett, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
>
> Liebe Grüße,
> [mm]\qquad[/mm] Mathematik-Liebhaber
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Ok,
die Lösung kam mir wohl nur einer Aufgabe nicht würdig vor 
Danke
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