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| Aufgabe | | Sei f [mm] \in [/mm] Abb( [mm] \IN [/mm] , [mm] \IN [/mm] ) definiert durch f(n) := n+1 für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie, dass f bzgl. der Hintereinanderschaltung von Abbildungen unendlich viele Linksinverse und kein Rechtsinverses besitzt. |
Wir haben ein nicht kommutatives Monoid und wenn es mehr als ein Linksinverses gibt, gibt es kein Rechtsinverses.
g: [mm] \IN \to \IN [/mm] linksinvers zu f, d.h. g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{x} \gdw [/mm] g(n+1) = g(f(n)) = (g [mm] \circ [/mm] f)(n) = [mm] id_{\IN} [/mm] (n) = n
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
An der Stelle komme ich nicht weiter.
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> Sei f [mm]\in[/mm] Abb( [mm]\IN[/mm] , [mm]\IN[/mm] ) definiert durch f(n) := n+1 für
> alle n [mm]\in \IN.[/mm] Zeigen Sie, dass f bzgl. der
> Hintereinanderschaltung von Abbildungen unendlich viele
> Linksinverse und kein Rechtsinverses besitzt.
> Wir haben ein nicht kommutatives Monoid und wenn es mehr
> als ein Linksinverses gibt, gibt es kein Rechtsinverses.
>
> g: [mm]\IN \to \IN[/mm] linksinvers zu f, d.h. g [mm]\circ[/mm] f = [mm]id_{x} \gdw[/mm]
> g(n+1) = g(f(n)) = (g [mm]\circ[/mm] f)(n) = [mm]id_{\IN}[/mm] (n) = n
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>
> An der Stelle komme ich nicht weiter.
Es muss also gelten g(n+1)=n für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Wie sieht dann g(n) aus?
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> Es muss also gelten g(n+1)=n für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
> Wie sieht dann g(n) aus?
Das ging schnell. Ich habe gerde erst wieder reingeguckt, also:
g(n)=n-1 z.B. für g(0)=-1, aber -1 [mm] \not\in \IN [/mm] also kann man g n-Mal ausführen, oder?
Das heißt, dass f bzgl. der Hintereinanderschaltung von Abbildungen n viele Linksinverse und dadurch kein Rechtsinverses besitzt.
Ist das dann die komplette Lösung? Kann ich das auch so aufschreiben?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Do 17.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> > Es muss also gelten g(n+1)=n für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
> > Wie sieht dann g(n) aus?
>
> Das ging schnell. Ich habe gerde erst wieder reingeguckt,
> also:
>
> g(n)=n-1 z.B. für g(0)=-1, aber -1 [mm]\not\in \IN[/mm] also kann
> man g n-Mal ausführen, oder?
> Das heißt, dass f bzgl. der Hintereinanderschaltung von
> Abbildungen n viele Linksinverse und dadurch kein
> Rechtsinverses besitzt.
>
> Ist das dann die komplette Lösung? Kann ich das auch so
> aufschreiben?
>
>
irgenwie ärgert mich der server, deshalb die antwort als mitteilung.
Also: Deine Begründung überzeugt so noch nicht. Die Bedingung g(n+1)=n für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] bedeutet, dass g(n)=n-1 für alle [mm] n\ge [/mm] 1 gelten muss.
g(0) ist dadurch nicht eindeutig festgelegt und kann somit einen beliebigen Wert in [mm] \IN [/mm] annehmen, darf aber nicht -1 sein (sonst wäre g keine Abbildung [mm] \IN\to\IN).
[/mm]
Damit: jede Funktion g mit g(n)=n-1 für [mm] n\ge [/mm] 1 und [mm] g(0)\in\IN [/mm] beliebig ist Linksinverse von f.
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> irgenwie ärgert mich der server, deshalb die antwort als
> mitteilung.
> Also: Deine Begründung überzeugt so noch nicht. Die
> Bedingung g(n+1)=n für alle [mm]n\in\IN[/mm] bedeutet, dass
> g(n)=n-1 für alle [mm]n\ge[/mm] 1 gelten muss.
> g(0) ist dadurch nicht eindeutig festgelegt und kann somit
> einen beliebigen Wert in [mm]\IN[/mm] annehmen, darf aber nicht -1
> sein (sonst wäre g keine Abbildung [mm]\IN\to\IN).[/mm]
> Damit: jede Funktion g mit g(n)=n-1 für [mm]n\ge[/mm] 1 und
> [mm]g(0)\in\IN[/mm] beliebig ist Linksinverse von f.
Okay, danke! Nur das mit der 0 verstehe ich noch nicht so ganz. Wenn g(0) nicht definiert ist, weil n [mm] \ge [/mm] 1 gilt, kann g(0) doch nicht Element der natürlichen Zahlen sein, dachte ich.
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> > irgenwie ärgert mich der server, deshalb die antwort als
> > mitteilung.
> > Also: Deine Begründung überzeugt so noch nicht. Die
> > Bedingung g(n+1)=n für alle [mm]n\in\IN[/mm] bedeutet, dass
> > g(n)=n-1 für alle [mm]n\ge[/mm] 1 gelten muss.
> > g(0) ist dadurch nicht eindeutig festgelegt und kann
> somit
> > einen beliebigen Wert in [mm]\IN[/mm] annehmen, darf aber nicht -1
> > sein (sonst wäre g keine Abbildung [mm]\IN\to\IN).[/mm]
> > Damit: jede Funktion g mit g(n)=n-1 für [mm]n\ge[/mm] 1 und
> > [mm]g(0)\in\IN[/mm] beliebig ist Linksinverse von f.
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> Okay, danke! Nur das mit der 0 verstehe ich noch nicht so
> ganz. Wenn g(0) nicht definiert ist, weil n [mm]\ge[/mm] 1 gilt,
> kann g(0) doch nicht Element der natürlichen Zahlen sein,
> dachte ich.
>
Ich gehe erstmal davon aus, dass bei euch 0 zu [mm] \IN [/mm] gehört. Wenn nicht, dann ersetzte "0" durch "1".
die Funktion f "schiebt alle zahlen nach rechts": [mm] 0\mapsto [/mm] 1, [mm] 1\mapsto [/mm] 2, [mm] 2\mapsto [/mm] 3,...
Eine Linksinverse g muss diese Operation wieder rückgängig machen:
[mm] 1\mapsto [/mm] 0, [mm] 2\mapsto [/mm] 1, [mm] 3\mapsto [/mm] 2,....
g(0) ist durch diese Bedingung nicht eindeutig festgelegt und kann einen beliebigen Wert annehmen. Die Bedingung, dass g eine Funktion von [mm] \IN nach\IN [/mm] ist verlangt [mm] g(0)\in\IN, [/mm] für den genauen Funtionswert gibt es jedoch keine weiteren Einschränkungen.
Es ist auch leicht nachzuprüfen, dass für jede Funktion g mit g(n)=n-1 für [mm] n\ge [/mm] 1 und [mm] g(0)\in\IN [/mm] beliebig gilt [mm] g\circ f=id_{\IN}
[/mm]
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