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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Di 04.11.2008 | | Autor: | supersim |
| Aufgabe | Untersuche folgende Abbildungen f: [mm] \IR^{2} [/mm] -> [mm] \IR^{2} [/mm] auf Injektivität und Surjektivität
(a) f(x, y) = (3x + 5y, 5x + 3y);
(b) f(x, y) = (3x + 5y, 2x + 10/3 * y);
(c) f(x, y) = (x + y , [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2);
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab momentan noch ein paar Probleme bei einer Aufgabe über Abbildungen.
(a) und (b) sind injektiv, da zu jedem Element aus f(x,y) nur ein Element aus (x,y) existiert. (c) ist nicht injektiv, da für mehr als ein Element aus f(x,y) für ein Element aus (x,y) existiert, z.B. f(2,1) = (3,5) und f(1,2) = (3,5).
Bei der Surjektivität habe ich so meine Probleme. Eine Abbildung ist Surjektiv, wenn zu jedem (x,y) ein f(x,y) existiert. Währe als Menge der Zahlenbereich der Natürlichen Zahlen ausgewählt worden, dann könnte ich das ja ausschließen, da für (1,1) kein f(x,y) existiert, aber bei Rationalen Zahlen bin ich mir da nicht so sicher. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen.
Und was heißt eigentlich f(x) = f(x)?
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Die Injektivität von (a) ist in Ordnung, die von (b) jedoch nicht! Probiere etwa die Paare (6,3) und (1,6): Es gilt f(6,3) = (33,22) = f(1,6)!
Zur Surjektivität: Vorsicht! Du denkst in die falsche Richtung! Eine Funktion [mm]f : \IR^2 \to \IR^2[/mm] heißt surjektiv genau dann, wenn du zu jedem [mm](x_2,y_2) \in \IR^2[/mm] ein [mm](x_1,y_1) \in \IR^2[/mm] findest mit [mm]f(x_1,y_1) = (x_2,y_2)[/mm]. Anschaulich bedeutet das, dass die Funktion jeden Punkt der Zielmenge trifft.
Nun zu den einzelnen Funktionen. Bei (a) geht man so vor: Betrachte einen Punkt [mm](x_1,y_1)[/mm], den du als ein f(x,y) ausdrücken willst. Dieser Punkt erfüllt dann zwei Gleichungen: [mm]3x + 5y = x_1[/mm] und [mm]5x + 3y = x_2[/mm]. Dieses Gleichungssystem kann man lösen und erhält (etwas umständlich vielleicht) [mm]x = \bruch{5}{16}y_1 - \bruch{3}{16}x_1[/mm] sowie [mm]y = -\bruch{3}{16}y_1 + \bruch{5}{16}x_1[/mm]. Zahlenbeispiel: Für [mm](x_1,y_1) = (-5,16)[/mm] erhältst du [mm]f(\bruch{95}{16}, -\bruch{73}{16}) = (-5,16)[/mm].
Bei (b) geht man im Prinzip ähnlich vor und erkennt aus den beiden Gleichungen, dass man eine Lösung nur finden kann, wenn [mm]y_1 = \bruch{2}{3}x_1[/mm] gilt. Damit kann (b) nicht surjektiv sein, denn z.B. das Paar [mm](2,2)[/mm] kann man mit der Funktion f nicht treffen.
Bei (c) sieht man direkt, dass es nicht surjektiv sein kann: der Ausdruck [mm]x^2+y^2[/mm] ist ja immer größer oder gleich 0, also triffst du z.B. den Punkt (-1,-1) mit der Funktion f niemals.
Zu deiner Zusatzfrage: Der Ausdruck [mm]f(x) = f(x')[/mm] stammt wahrscheinlich aus einer Injektivitätsuntersuchung. Eine Funktion ist ja injektiv, wenn jeder mögliche Funktionswert höchstens einmal getroffen wird. Dies lässt sich auch so formalisieren: Gilt [mm]f(x) = f(x')[/mm], sind also die Funktionswerte gleich, so muss schon [mm]x = x'[/mm] gelten.
Ich hoffe, das hilft dir 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Mi 05.11.2008 | | Autor: | supersim |
| Aufgabe | Untersuche folgende Abbildungen f: $ [mm] \IR^{2} [/mm] $ -> $ [mm] \IR^{2} [/mm] $ auf Injektivität und Surjektivität
(a) f(x, y) = (3x + 5y, 5x + 3y);
(b) f(x, y) = (3x + 5y, 2x + 10/3 * y);
(c) f(x, y) = (x + y , [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2); [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo metalchuck,
vielen Dank für deine Kompetente Hilfe und natürlich hilft mir so was sehr.
Zwei Fragen hätte ich noch zum Verständnis:
Wenn A und B Teilmengen von X sind und f: X -> X eine Abbildung, was kann man sich unter f(A) und f(B) vorstellen und in welchem Verhältnis stehen sie zusammen, wenn man beide scheidet [f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) bzw. [mm] f(A\cap [/mm] B)]?
Wenn X eine Menge ist, was kann man sich unter der Menge aller Abbildungen [mm] 2^X [/mm] von X in die Menge {0,1}vorstellen?
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> Zwei Fragen hätte ich noch zum Verständnis:
>
> Wenn A und B Teilmengen von X sind und f: X -> X eine
> Abbildung, was kann man sich unter f(A) und f(B) vorstellen
Hallo,
um solche Fragen zu beantworten, sollte man zunächst seine Mitschrift/Skript bemühen.
Wie ist "f von einer Menge" dort definiert?
Bevor man sich irgendwelche Vorstellungen macht, braucht man die definition. Ohne geht's nicht.
> und in welchem Verhältnis stehen sie zusammen, wenn man
> beide scheidet [f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) bzw. [mm]f(A\cap[/mm] B)]?
Man will von Dir wissen, ob die beiden Mengen f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) und [mm]f(A\cap[/mm] B)] gleich sind, oder ob zumindest eine Teilmengenbeziehung besteht.
Wenn geklärt ist, was mit dem Bild eine Menge gemeint ist, kannst Du Dich an die Kärung dieser Frage machen.
Mir helfen bei so etwas Bildhen mit Pünkthen (Elemente), Pfeilen (Abbildungspfeile) und ballons (Mengen).
> Wenn X eine Menge ist, was kann man sich unter der Menge
> aller Abbildungen [mm]2^X[/mm] von X in die Menge {0,1}vorstellen?
Mit [mm] 2^X [/mm] ist die Potenzmenge von X gemeint.
Wie ist die Potenzmenge von X definiert?
Du sollst nun die Abbildungen anschauen, die die Elemente der Potenzmenge auf die zahlen 0 oder 1 abbilden.
Gruß v. Angela
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