Abbildung zwischen Einheiten < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Mi 09.01.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Sei [mm] \phi:(\IZ/p\IZ)*\to\{+-1\}, x\mapsto x^{\bruch{p-1}{2}}
[/mm]
1. Zeige: ker [mm] \phi\subseteq\{x^2:x\in(\IZ/p\IZ)\}
[/mm]
2. Zeige: [mm] \phi [/mm] ist surjektiv.
3. Sei [mm] y\in (\IZ/p\IZ)*. [/mm] Folgere, dass [mm] y=x^2 [/mm] mit [mm] x\in(\IZ/p\IZ)* [/mm] genau dann, wenn [mm] y^{\bruch{p-1}{2}}\equiv1 [/mm] modulo p |
Leider verstehe ich die ganze Aufgabe nicht so wirklich.
Erstmal: Alles was mit* gekennzeichnet ist ist die Einheitengruppe und p ist eine Primzahl.
Wir bilden also die Einheiten auf die Einheiten in [mm] \IZ [/mm] ab.
Aber leider kann ich mit der Vorschfrift nicht so viel anfangen.
Es wäre nett wenn mir da mal jemand helfen könnte.
Vielen Dank im Vorraus jumape
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Sa 12.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo jumape
> Sei [mm]\phi:(\IZ/p\IZ)*\to\{+-1\}, x\mapsto x^{\bruch{p-1}{2}}[/mm]
>
> 1. Zeige: ker [mm]\phi\subseteq\{x^2:x\in(\IZ/p\IZ)\}[/mm]
> 2. Zeige: [mm]\phi[/mm] ist surjektiv.
> 3. Sei [mm]y\in (\IZ/p\IZ)*.[/mm] Folgere, dass [mm]y=x^2[/mm] mit
> [mm]x\in(\IZ/p\IZ)*[/mm] genau dann, wenn [mm]y^{\bruch{p-1}{2}}\equiv1[/mm]
> modulo p
>
> Leider verstehe ich die ganze Aufgabe nicht so wirklich.
>
> Erstmal: Alles was mit* gekennzeichnet ist ist die
> Einheitengruppe und p ist eine Primzahl.
$p$ ist eine ungerade Primzahl, oder?
> Wir bilden also die Einheiten auf die Einheiten in [mm]\IZ[/mm] ab.
Nein, du bildest auf die Teilmenge [mm] $\{ 1, -1 \} [/mm] = [mm] \{ 1, p - 1 \}$ [/mm] von [mm] $(\IZ/p\IZ)^\star$ [/mm] ab.
> Aber leider kann ich mit der Vorschfrift nicht so viel
> anfangen.
Inwiefern? Du nimmst ein Element aus [mm] $(\IZ/p\IZ)^\star$ [/mm] und potenzierst es mit [mm] $\frac{p - 1}{2}$. [/mm] Das ergibt dann wieder ein Element in [mm] $(\IZ/p\IZ)^\star$.
[/mm]
Jetzt berechne doch mal [mm] $\phi(x)^2$ [/mm] fuer ein beliebiges $x [mm] \in (\IZ/p\IZ)^\star$ [/mm] und wende den kleinen Satz von Fermat an. Was siehst du dann?
Und dann ueberleg dir wieviele Bildelemente es geben kann (betrachte die Nullstellen des Polynoms [mm] $x^2 [/mm] - 1 [mm] \in (\IZ/p\IZ)[x]$, [/mm] wieviele gibt es?), und wieviele es wirklich gibt (beachte dass [mm] $(\IZ/p\IZ)^\star$ [/mm] eine zyklische Gruppe ist!). Damit hast du die Wohldefiniertheit und Aussage b) gezeigt.
Zu a): musst einfach nachrechnen, dass ein Element aus der Menge auf die Identitaet geht. (Hier: wieder Fermat.)
Bei c) musst du dir ueberlegen, wie gross die Menge der Quadrate ist. (Betrachte dazu z.B. den Homomorphismus $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] von [mm] $(\IZ/p\IZ)^*$ [/mm] auf sich selbst. Das Bild ist diese Menge, und wie sieht der Kern aus? Was kannst du damit aussagen?)
LG Felix
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