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Hi!
Zu zeigen: Die Inversion [mm] z\mapsto\bruch{1}{z} (\IC\mapsto\IC) [/mm] bildet Geraden in der komplexen Ebene auf Geraden und Kreise ab.
Jede Gerade in der komplexen Ebene , die nicht durch 0 geht, ist die Lösungsmenge der Gleichung [mm] \overline{b}z+b\overline{z}+c=0 [/mm] mit günstigen [mm] p\in\IC,c\in\IR [/mm] und [mm] b\not=0
[/mm]
[mm] z':=\bruch{1}{z}
[/mm]
[mm] \overline{b}\bruch{1}{z'}+b\overline{\bruch{1}{z'}}+c=0 (b\not=0)
[/mm]
Nun wird behauptet: Die Menger aller z' sei die Lösungsmenge der Gleichung [mm] \overline{b}\overline{z'}+bz'+c|z'|^2=0
[/mm]
Damit wäre das zu Zeigende natürlich gezeigt. Wenn letztere Behauptung stimmt müsste gelten:
[mm] \overline{b}\bruch{1}{z'}+b\overline{\bruch{1}{z'}}+c=\overline{b}\overline{z'}+bz'+c|z'|^2
[/mm]
Wenn ich z=2 setze würde dann aber gelten: [mm] 1.5\overline{b}+1.5b+0.75c=0 [/mm] was aber nicht für alle b, c gilt.
Da ist doch also was faul. Aber wo?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Di 03.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die 2 Ausdruecke sind doch nicht gleich, sondern aus
$ [mm] \overline{b}\bruch{1}{z'}+b\overline{\bruch{1}{z'}}+c=0 (b\not=0) [/mm] $
folgt die neue Identitaet indem du mit [mm] z\overline{z} [/mm] multiplizierst. Wieso kommst du drauf, dass deine Gleichung gelten muss.
uebrigens auch in die geradengl. kannst du nicht einfach z=2 einsetzen, z=2 muss ja nicht auf der Geraden liegen.
Gruss leduart
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Also fest steht doch: Ich muss
[mm] \overline{b}\bruch{1}{z'}+b\overline{\bruch{1}{z'}}+c=0 (b\not=0) [/mm] so umformen, dass eine Geraden- oder Kreisgleichung ensteht (diese soll nur z' enthalten, deshalb weiß ich nicht, warum du sagst, ich solle die Gleichung mit z multiplizieren).
Das Buch sagt nun im Lösungsteil: "Die Menge der Bildpunkte [mm] \bruch{1}{z} [/mm] (also z') ist die Lösungsmenge der Gleichung [mm] \overline{b}\overline{z'}+bz'+c|z'|^2=0"
[/mm]
Also müsste ich doch, wenn ich erstere Gleichung richtig umforme, die zweite Gleichung erhalten. Mit anderen Worten: erstere und letztere Gleichung sind identisch.
Das mit dem z=2 einsetzen war Blödsinn.
Dieser Lösungsansatz ist doch richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Di 03.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Natuerlich sollst du sie nicht mit [mm] $z*\overline [/mm] z$ multiplizieren sondern mit [mm] $z'*\overline [/mm] z'$
Ich dachte das sei klar.
natuerlich haben deine 2 Gleichungen fuer [mm] z'\ne [/mm] 0 dieselbe Loesungsmenge.
aber die 2 gleichzusetzen ist irgendwie sinnlos.
2x+3y=0 und 6x+9y=0 haben dieselbe Loesungsmenge.
aber deshalb hinzuschreiben 2x+3y=6x+9y hat ja nicht viel Sinn, ist aber auch nicht falsch. wenn du links und rechts ne Loesung von 2x+3y=0 einsetzt, kommt natuerlich wieder 0=0 raus.
Wenn du irgendein x,y links einsetz kommt rechts natuerlich nicht dasselbe raus.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Di 03.03.2009 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Wahrscheinlich habe ich mich unklar ausgedrückt.
Letztere Gleichung wird vom Buch als Bestandteil der Lösung vorgeschlagen. D.h. es ist mein Ziel auf diese Gleichung zu kommen.
Ich kann aber beweisen, dass letztere Gleichung tatsächlich Die Menge aller z' ist, wenn ich sie mit ersterer Gleichung gleichsetze und auf z.B. 0=0 umforme.
Denn dass erstere Gleichung die Menge aller z' ist, dass weiß ich ganz bestimmt.
Aber ich weiß ja nun, wie ich erstere umformen muss, um auf letztere zu kommen, somit habe ich auch die Gleichheit gezeigt.
Vielen Dank!
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