Abbildung / geord. Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Lorence |
| Aufgabe | Es sei [mm] \mu [/mm] (von [mm] Q^3 \to Q^4: [/mm] eine gegebene lineare Abbildung:
[mm] \mu(e_{1})=2e_{2}+2e_{3}
[/mm]
[mm] \mu(e_{2})=e_{1}+3e_{3}+2e_{4}
[/mm]
[mm] \mu(e_{3})=e_{1}+e_{3}+2e_{4}
[/mm]
Die [mm] e_{j} [/mm] bezeichnen dabei die kanonische Basis von [mm] Q^3 [/mm] bzw [mm] Q^4.
[/mm]
Man gebe angeordnete Basen
[mm] (a_{1},a_{2},a_{3}) [/mm] und [mm] (b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}) [/mm] von [mm] Q^3 [/mm] bzw. [mm] Q^4 [/mm] an derart:
[mm] A^{\mu}(a_{1},a_{2},a_{3}:b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] |
So was muss ich hier genau machen?
Ich hab zuerst einmal die Abbildungsmatrix dieser Linearen Abbildung erstellt:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 2 } [/mm] und diese dann umgeformt bis sie schließlich so aussieht:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Aber das ist ja nicht die Aufgabe oder? was genau muss ich machen? Bin ich auf dem richtigen weg? stimmt meine Abbildungsmatrix überhaupt?
Gruß
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> Es sei [mm]\mu[/mm] (von [mm]Q^3 \to Q^4:[/mm] eine gegebene lineare
> Abbildung:
> [mm]\mu(e_{1})=2e_{2}+2e_{3}[/mm]
> [mm]\mu(e_{2})=e_{1}+3e_{3}+2e_{4}[/mm]
> [mm]\mu(e_{3})=e_{1}+e_{3}+2e_{4}[/mm]
>
> Die [mm]e_{j}[/mm] bezeichnen dabei die kanonische Basis von [mm]Q^3[/mm] bzw
> [mm]Q^4.[/mm]
>
> Man gebe angeordnete Basen
> [mm](a_{1},a_{2},a_{3})[/mm] und [mm](b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})[/mm] von [mm]Q^3[/mm]
> bzw. [mm]Q^4[/mm] an derart:
>
> [mm]A^{\mu}(a_{1},a_{2},a_{3}:b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> So was muss ich hier genau machen?
>
> Ich hab zuerst einmal die Abbildungsmatrix dieser Linearen
> Abbildung erstellt:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 2 }[/mm]
> und diese dann umgeformt bis sie schließlich so aussieht:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
>
> Aber das ist ja nicht die Aufgabe oder? was genau muss ich
> machen? Bin ich auf dem richtigen weg? stimmt meine
> Abbildungsmatrix überhaupt?
Hallo,
Deine Abbildungsmatrix stimmt.
Der ZSF kannst Du entnehmen, daß die drei Spalten Deiner Abbildungsmatrix linear unabhängig sind.
Nimm diese drei Spalten als die drei ersten Basisvektoren [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] Deiner neuen Basis B und ergänze sie durch einen weiteren Vektor zu einer Basis des [mm] \IQ^4.
[/mm]
Als Basis A kannst Du einfach die Standardbasis beibehalten:
Es ist dann
[mm] \mu(e_{1})=2e_{2}+2e_{3}=1*b_1
[/mm]
[mm] \mu(e_{2})=e_{1}+3e_{3}+2e_{4}=1*b_2
[/mm]
[mm] \mu(e_{3})=1*b_3,
[/mm]
was bzgl dieser Basen die geforderte Darstellungsmatrix liefert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Also ist die Basis B:
[mm] b_{1}\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ }
[/mm]
[mm] b_{2}\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ }
[/mm]
[mm] b_{3}\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ }
[/mm]
[mm] b_{4}\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ } [/mm] -- habe ich ergänzt,
Basis a1,a2,a3 ist die kanonische Basis dann?
[mm] a_{1}\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] a_{2}\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
[mm] a_{3}\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
Es ist dann
> [mm]\mu(e_{1})=2e_{2}+2e_{3}[/mm][mm] =1*b_1[/mm]
[/mm]
> [mm]\mu(e_{2})=e_{1}+3e_{3}+2e_{4}[/mm][mm] =1*b_2[/mm]
[/mm]
> [mm]mu(e_{3})=1*b_3,[/mm]
>
> was bzgl dieser Basen die geforderte Darstellungsmatrix
> liefert.
>
> Gruß v. Angela
Leider verstehe ich, diesen letzten Teil nicht so ganz.
Danke für die Hilfe
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> Also ist die Basis B:
>
> [mm]b_{1}\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ }[/mm]
>
> [mm]b_{2}\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ }[/mm]
>
> [mm]b_{3}\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ }[/mm]
Hallo,
nein, Du mußt als [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] die Spalten der ursprünglichen matrix nehmen, also die Bilder Deiner drei Basisvektoren.
> [mm]b_{4}\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ }[/mm] -- habe ich ergänzt,
>
>
> Basis a1,a2,a3 ist die kanonische Basis dann?
Ja.
>
> [mm]a_{1}\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> [mm]a_{2}\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
>
> [mm]a_{3}\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 }[/mm]
>
>
> Es ist dann
>
> > [mm]\mu(e_{1})=2e_{2}+2e_{3}[/mm][mm] =1*b_1[/mm]
> >
> [mm]\mu(e_{2})=e_{1}+3e_{3}+2e_{4}[/mm][mm] =1*b_2[/mm]
> > [mm]\mu(e_{3})=1*b_3,[/mm]
> >
> > was bzgl dieser Basen die geforderte Darstellungsmatrix
> > liefert.
> >
> > Gruß v. Angela
>
>
> Leider verstehe ich, diesen letzten Teil nicht so ganz.
Z.B.:
> > [mm]\mu(e_{1})=2e_{2}+2e_{3}[/mm][mm] =1*b_1+0*b_2+0*b_3+0*b_4=\vektor{1\\0\\0\\0}_{(B)},
[/mm]
und dieser Koordnatenvektor bzgl B gibt die erste Spalte der darstellenden Matrix bzgl der neuen Basen.
Gruß v. Angela
>
> Danke für die Hilfe
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, also muss ich die Abbildungsmatrix mittels Spaltenumformungen umformen?
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 2 } [/mm] =
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 \\ 0 & 2 & 0 } [/mm] =
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0 } [/mm] ???
Sind dass dann die Basisvektoren für b? das wären dann aber nur 3 stück?
Das Problem ist, dass ich bei deinem Text immer ein Haufen anderer Zeichen mitdrin sind, die da nicht hingehören sollen, deshalb bin ich verwirrt.
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> Okay, also muss ich die Abbildungsmatrix mittels
> Spaltenumformungen umformen?
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 2 }[/mm]
> =
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 \\ 0 & 2 & 0 }[/mm]
> =
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0 }[/mm]
> ???
>
> Sind dass dann die Basisvektoren für b? das wären dann aber
> nur 3 stück?
>
> Das Problem ist, dass ich bei deinem Text immer ein Haufen
> anderer Zeichen mitdrin sind, die da nicht hingehören
> sollen, deshalb bin ich verwirrt.
Hallo,
Entschuldigung, ist korrigiert, jetzt solltst Du es lesen können.
Das Vorgehen habe ich bereits in meiner ersten Antwort beschrieben.
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, du sagst also
[mm] \mu_{1} [/mm] = [mm] b_{1}
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
Ist dann:
[mm] \mu_{2} [/mm] = [mm] b_{2}
[/mm]
= [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] \mu_{3} [/mm] = [mm] b_{3}
[/mm]
= [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
Okay, aber wie kann ich jetzt [mm] b_{4} [/mm] finden? Ich werde aus deiner Argumentation nicht schlau, tut mir leid für die Mühen die ich hier machen, aber danke für deine Hilfe.
Gruß
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> Okay, du sagst also
>
> [mm]\mu_{1}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> Ist dann:
>
> [mm]\mu_{2}[/mm] = [mm]b_{2}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
>
> [mm]\mu_{3}[/mm] = [mm]b_{3}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
>
>
> Okay, aber wie kann ich jetzt [mm]b_{4}[/mm] finden? Ich werde aus
> deiner Argumentation nicht schlau, tut mir leid für die
> Mühen die ich hier machen, aber danke für deine Hilfe.
>
> Gruß
Hallo,
Du verkürzt und verstümmelst das, was ich sage, sehr.
Ich sagte
daß Du [mm] b_i:=\mu(e_i) [/mm] nehmen kannst.
[mm] b_1 [/mm] wäre also [mm] b_1=\vektor{0\\2\\2\\0}, [/mm] also die erste Spalte der darstellenden Matrix bzgl. der Standardbasen. In Koordinaten bzgl. der neuen Basis B ist das dann [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }_{(B)}.
[/mm]
Für [mm] b_4 [/mm] gibt's ja eine Menge Möglichkeiten.
Du mußt einfach einen Vektor finden, der die matrix $ [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 2 } [/mm] $ so ergänzt, daß sie den Rang 4 hat.
Dann hast Du 4 linear unabhängige Vektoren.
Ich bin mir nicht ganz im Klaren darüber, wo Dein Problem liegt. Ist es nur diese spezielle Aufgabenstellung, oder hast Du vielleicht null Ahnung davon, was mit darstellenden Matrizen bzgl irgendwelcher Basen und mit Koordinatenvektoren gemeint ist. Wenn nämlich letzteres der fall ist, müßte man diesen Zustand vor Bearbeitung der Aufgabe ändern. Sonst bringt das ja nichts.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Lorence |
Ja so 100% is das mir das nicht klar, die Aufgabenstellung verwirrt mich auch auf jeden Fall,
Ich kann doch an solche Aufgaben folgendermaßen rangehen:
1. Ich berechene die Linear Unabhängigen Spalten (durch spaltenumformungen)
2. Ich suche einen zusätzlichen Vektor um eine Basis zu schaffen
???
Hier wäre es z.B
[mm] b4=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
oder=
[mm] b4=\pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
oder [mm] b4=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
[mm] A^{\mu}(a_{1},a_{2},a_{3}:b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Wie kann ich durch Probe mein Ergebnis Kontrollieren?
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> Ja so 100% is das mir das nicht klar, die Aufgabenstellung
> verwirrt mich auch auf jeden Fall,
>
> Ich kann doch an solche Aufgaben folgendermaßen rangehen:
>
> 1. Ich berechene die Linear Unabhängigen Spalten (durch
> spaltenumformungen)
Hallo,
mal die Vorgehensweise unabhängig von dieser Aufgabe:
zunächst einmal bestimmt man eine Basis des Bildes - wie man das im einzelnen macht, ist egal. Für diese gefundenen Basisvektoren [mm] b_i [/mm] sucht man [mm] a_i [/mm] mit [mm] f(a_i) =b_i.
[/mm]
Aus Gründen, die Du kennen solltest, sind die [mm] a_i [/mm] linear unabhängig.
Nun hat man schonmal garantiert, daß man, wenn man die Abbildungsmatrix bzgl der noch zu ergänzenden Basen aufstellt, am Anfang (im linken Teil der Matrix) Einsen auf der Diagonalen hat und sonst nur Nullen.
Jetzt ergänzt man ggf. (das war in Deiner Aufgabe ja nicht nötig) die [mm] a_i [/mm] zu einer Basis des Startraumes, sie bekommen den Nullvektor als Funktionswert, Du kannst Dir überlegen, warum das anders gar nicht sein kann.
Falls die Basis des Zielraumes noch nicht vollständig ist, ergänzt man die [mm] b_i [/mm] zu einer Basis des Zielraumes.
> 2. Ich suche einen zusätzlichen Vektor um eine Basis zu
> schaffen
>
> ???
>
> Hier wäre es z.B
>
> [mm]b4=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> oder=
>
> [mm]b4=\pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> oder [mm]b4=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
Das habe ich jetzt nicht nachgerechnet, aber ich denke, die Prüfung auf lineare Unabhängigkeit der 4 Vektoren schaffst Du ja auch selbst.
>
>
> [mm]A^{\mu}(a_{1},a_{2},a_{3}:b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Wie kann ich durch Probe mein Ergebnis Kontrollieren?
Die Frage ist natürlich nicht dumm - und wenn Du die Antwort kennst, solltest Du endlich verstanden haben, was Du getan hast.
Du hast die darstellende Matrix der Abbildung [mm] \mu. [/mm] Deshalb muß sie natürlich für jeden Vektor, den man damit multipliziert, seinen Funktionswert unter [mm] \mu [/mm] liefern.
Nun kommen die Basen ins Spiel: es ist die darstellende Matrix bzgl. der beiden Basen A und B - ich denke, die Benennung ist selbsterklärend.
Das bedeutet: die Matrix liefert für Vektoren, die in Koordinaten bzgl A gegeben werden, ihr Bild unter [mm] \mu [/mm] in Koordinaten bzgl. B.
Nun Testen wir das anhand der Basisvektoren [mm] a_i.
[/mm]
[mm] a_1 [/mm] ist in Koordinaten. bzgl A: [mm] a_1=\vektor{1\\0\\0}_{(A)}
[/mm]
Es ist [mm] A*a_1=\vektor{1\\0\\0\\0}. [/mm] Nun könnte man sich Sorgen machen, denn wir wissen ja, was das Bild von [mm] a_1 [/mm] ist.
Aber halt! A liefert das Bild in Koordinaten bzgl B.
Es ist also [mm] A*a_1=\vektor{1\\0\\0\\0}{\red{(B)}} =1*b_1+0*b_2+0*b_3+0*b_4= 1*b_1, [/mm] dessen Koordinaten bzgl. der Standardbasis suche ich jetzt nicht mehr raus. Zuviel Klickerei.
Gruß v. Angela
P.S.: Du solltest die darstellenden Matrizen bzgl verschiedener Basen gründlich nacharbeiten - ich habe jedenfalls das Gefühl, daß es dunkle Flecken gibt bei Dir.... Du kannst dem verlauf der Vorlesung sonst bald nicht mehr sinnvoll folgen.
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