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| Aufgabe | Sei K ein Körper mit [mm] char(K)\not= [/mm] 2. Sei n > 1, und sei [mm] \phi:K^{n}\to K^{n} [/mm] injektiv mit [mm] \phi(0) [/mm] = 0 und [mm] $\phi(e_{i}) [/mm] = [mm] e_{i}$ [/mm] für i=1,...,n. Außerdem soll [mm] \phi [/mm] Geraden auf Geraden und parallele Geraden auf parallele Geraden abbilden.
Zeige: Es gibt einen Gruppenautomorphismus [mm] \sigma:(K,+)\to [/mm] (K,+), so dass
[mm] $\phi(\vektor{x_{1}\\...\\x_{n}}) [/mm] = [mm] \vektor{\sigma(x_{1})\\...\\ \sigma(x_{n})}$ [/mm] |
Hallo!
Bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter.
Eine Gerade kann ich ja darstellen in der Form $a+K*b := [mm] \{a+k*b, k\in K\}$, [/mm] wobei [mm] a,b\in K^{n}.
[/mm]
Damit habe ich bereits herausgefunden, dass gilt: [mm] $\phi(x*e_{i}) [/mm] = [mm] \xi_{x}*e_{i}$, [/mm] denn:
[mm] $K*e_{i}$ [/mm] ist eine Gerade, muss also durch [mm] \phi [/mm] wieder auf eine Gerade abgebildet werden. Ich kenne bereits $0 = [mm] \phi(0) [/mm] = [mm] \phi(0*e_{i})$ [/mm] und [mm] $e_{i} [/mm] = [mm] \phi(1*e_{i})$, [/mm] also ist die "Bildgerade" eindeutig bestimmt durch die beiden Punkte 0 und [mm] e_{i}, [/mm] durch die sie gehen muss --> [mm] $\phi(K*e_{i}) [/mm] = [mm] K*e_{i}$.
[/mm]
Wenn ich jetzt weiß, dass durch [mm] \phi [/mm] "Geraden auf Geraden" abgebildet werden, müsste das doch bedeuten, dass [mm] $\phi:(K*e_{i})\to (K*e_{i})$ [/mm] surjektiv ist, oder? Weil es zusätzlich injektiv ist, müsste es also sogar bijektiv sein.
Stimmt das?
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Weil [mm] $e_{j}+K*e_{i}$ [/mm] eine zu [mm] $K*e_{i}$ [/mm] parallele Gerade ist, erhalte ich so auch: [mm] $\phi(e_{j}+K*e_{i}) [/mm] = a + [mm] K*e_{i}$, [/mm] und wegen [mm] $\phi(e_{j}+0*e_{i}) [/mm] = [mm] \phi(e_{j}) [/mm] = [mm] e_{j}$ [/mm] weiß ich außerdem, dass [mm] e_{j} [/mm] auf der Bildgeraden liegen muss. Also habe ich insgesamt: [mm] $\phi(e_{j}+K*e_{i}) [/mm] = [mm] e_{j} [/mm] + [mm] K*e_{i}$, [/mm] d.h.:
[mm] $\phi(e_{j}+x*e_{i}) [/mm] = [mm] e_{j}+\xi_{x}*e_{i}$
[/mm]
Das dürfte wieder eine bijektive Abbildung sein... Stimmt das?
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Und jetzt komme ich nicht weiter - kann mir jemand einen Ansatz geben? 
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 08.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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