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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Mo 27.10.2008 | | Autor: | jacky777 |
| Aufgabe | f: A [mm] \to [/mm] B sei eine Abbildung zwischen Mengen A und B. [mm] M\subsetA
[/mm]
und N [mm] \subset [/mm] B sind Teilmengen. Zeigen Sie:
1. M [mm] \subset f^{-1}(f(M)) [/mm] und [mm] f(f^{-1}(N)) \subset [/mm] N.
2. Die Abbildung f ist injektiv [mm] \gdw f^{-1}(f(M))=M, [/mm] für alle Teilmengen M [mm] \subset [/mm] A.
3.f ist bijektiv [mm] \gdw [/mm] f(A-M)=B-f(M), für alle Teilmengen M [mm] \subset [/mm] A
4. A sei eine endliche Menge und f,g: A [mm] \to [/mm] A Abbildungen mit f [mm] \circ [/mm] g bijektiv. Zeigen Sie, dass f und g bijektiv sind. |
hallo erstmal,
ich habe ehrlich gesagt noch nicht so viel ahnung davon, wie man damit umgeht. ich weiß zwar, was die einzelnen sachen bedeuten, und wie man es im allgemeinen durch die "sätze" beweist, aber mir fällt echt nicht ein, wie ich es auf das bsp anwende. ich sitze jetzt schon paar std davor und hab mir recht viel durchgelesen darüber, aber i-wie bleib ich beim ansatz hängen :(
kann mir es einer vllt mal erklären, wie man an die sachen rangeht oder es vllt mit nem anderen bsp. beweist?
vielen dank im voraus
lg Jacky
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> f: A [mm]\to[/mm] B sei eine Abbildung zwischen Mengen A und B.
> [mm]M\subsetA[/mm]
> und N [mm]\subset[/mm] B sind Teilmengen. Zeigen Sie:
> 1. M [mm]\subset f^{-1}(f(M))[/mm] und [mm]f(f^{-1}(N)) \subset[/mm] N.
> 2. Die Abbildung f ist injektiv [mm]\gdw f^{-1}(f(M))=M,[/mm] für
> alle Teilmengen M [mm]\subset[/mm] A.
> 3.f ist bijektiv [mm]\gdw[/mm] f(A-M)=B-f(M), für alle Teilmengen M
> [mm]\subset[/mm] A
> 4. A sei eine endliche Menge und f,g: A [mm]\to[/mm] A Abbildungen
> mit f [mm]\circ[/mm] g bijektiv. Zeigen Sie, dass f und g bijektiv
> sind.
> hallo erstmal,
> ich habe ehrlich gesagt noch nicht so viel ahnung davon,
> wie man damit umgeht. ich weiß zwar, was die einzelnen
> sachen bedeuten, und wie man es im allgemeinen durch die
> "sätze" beweist, aber mir fällt echt nicht ein, wie ich es
> auf das bsp anwende. ich sitze jetzt schon paar std davor
> und hab mir recht viel durchgelesen darüber, aber i-wie
> bleib ich beim ansatz hängen :(
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Bitte poste in Zukunft mit, was Du getan hast.
Man bekommt dann einen besseren Eindruck davon, woran es hängt.
Voraussetzung dafür, diese Aufgaben lösen zu können, ist die Kenntnis der genauen Definitionen von
Teilmenge,
Differenz von Mengen,
Bild einer Menge,
Urbild einer Menge,
injektiv,
surjektiv.
Nehmen wir uns mal den ersten Teil der ersten Aufgabe vor.
Zu zeigen ist: M [mm]\subset f^{-1}(f(M))[/mm] , also eine Teilmengenbeziehung.
Was bedeutet Teilmenge? Jedes Element der linken Menge liegt auch in der rechten. Damit weiß man, was genau man nachweisen muß:
[mm] x\in [/mm] M [mm] ==> x\in f^{-1}(f(M))[/mm] .
Bevor man loslegt, könnte mana sich auch nochmal überlegen, was [mm] f^{-1}(f(M)) [/mm] für eine Menge ist. Was sind da für Elemente drin? Alle, die auf irgendein Element von f(M) abgebildet werden.
Dann kann man anfangen.
Beweis:
Sei [mm] x\in [/mm] M.
Da M eine Teilmenge von A (Def.bereich der Funktion f) ist, kann man auf jedes Element von M die Funktion f anwenden.
==> f(x) [mm] \in [/mm] f(M)
==> [mm] x\in f^{-1}(f(M)) [/mm] (nach Def. des Urbildes.
Versuch mal, die anderen Aufgaben genauso ausführlich zu lösen, insbesondere auch die Vorarbeiten, das Zusammenstellen der Definitionen und Klären dessen, was zu beweisen ist, penibelst durchzuführen. Hier liegt die eigentliche Arbeit.
Gruß v. Angela
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